自然数的运算
对自然数可以递归定义加法和乘法。其中，加法运算“+”定义为：
a + 0 = a;
a + S(x) = S(a+x)， 其中，S(x)表示x的后继者。
如果我们将S(0)定义为符号“1”，那么b + 1 = b + S(0) = S( b + 0 ) = S(b)，即，“+1”运算可求得任意自然数的后继者。
如此，便可得出交换幺半群(N,+)，是由1生出的自由幺半群，其中幺元为0。此幺半群服从消去律，可嵌入一群内：最小的是整数群。
同理，乘法运算“×”定义为：
a × 0 = 0;
a × S(b) = a × b + a
(N,×)亦是交换幺半群;
×和+符合分配律：
自然数的减法和除法可以由类似加法和乘法的逆的方式定义。
带余除法
对于两个自然数a,b，不一定有自然数c使得 。所以若用乘法的逆来定义除法，这个除法不能成为一个二元运算(即不符合封闭性，即使不允许除以0)。但我们可以用带余除法作为替代。
现设a,b为自然数， ，则有自然数q和r使得a=bq+r且r 一个例子是 ，也就是 。这里a=62，b=7，q=8，r=6。 带余除法在数论中有不少用途，比如说辗转相除法的基本步骤就是带余除法。 序 我们说 当且仅当有自然数使得 。当 而a不等于b时，记作a 二元关系 在自然数集上符合： 自反性：若a是自然数，则 ; 反对称性：设a,b是自然数。若 且 ，则a=b; 传递性：设a,b,c都是自然数。若 且 ，则 ; 完全性：对于任意两个自然数a,b，有且只有下列两种关系之一： 或 。 (或者等价的三分性：a 因为符合以上的四种性质，所以 是一全序。 事实上， 是一个良序集，即每个非空子集都有一个最小的自然数。此亦是最小数原理的陈述。 此序也和加法及乘法兼容，即若a,b,c都是自然数且 ，则 及 。 无限性 自然数集是一个无穷集合，自然数列可以无止境地写下去。 对于无限集合来说，“元素个数”的概念已经不适用，用数个数的方法比较集合元素的多少只适用于有限集合。为了比较两个无限集合的元素的多少，集合论的创立者德国数学家康托尔引入了一一对应的方法。这一方法对于有限集合显然是适用的，现推广到无限集合，即如果两个无限集合之间能建立一个一一对应，我们就认为这两个集合的元素是同样多的。对于无限集合，我们不再说它们的元素个数相同，而说这两个集合等势，或者说，这两个集合的基数相同。自然数集的基数是阿列夫零，记作 。 与有限集对比，无限集有一些特殊的性质，其一是它可能与自身的真子集有一一对应的关系，例如: 0 1 2 3 4 … (自然数集) ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ 1 3 5 7 9 …(奇数组成的集合) 这就是说，这两个集合有同样多的元素，或者说，它们是等势的。大数学家希尔伯特曾用一个有趣的例子来说明自然数的无限性：如果一个旅馆只有有限个房间，当它的房间都住满了时，再来一个旅客，经理就无法让他入住了。但如果这个旅馆有无数个房间，也都住满了，经理却仍可以安排这位旅客：他把1号房间的旅客换到2号房间，把2号房间的旅客换到3号房间，……如此继续下去，就把1号房间腾出来了。 和自然数集等势的集合有： 由自然数的有限序列组成的集合 整数集 有理数集 代数数集 可数个可数集合的并集 自然数集的势严格小於实数集的势，即两者间不能建立一一对应(详见对角论证法)。事实上，实数集的势是 ，即自然数集的幂集的势。