高考数学三角形余弦定理公式及证明

高考数学三角形余弦定理公式及证明2017

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　　1什么是三角形余弦定理

　　三角形余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值。

　　2三角形余弦定理的公式

　　对于边长为a、b、c而相应角为A、B、C的三角形，有：

　　a²=b²+c²-bc·cosA

　　b²=a²+c²-ac·cosB

　　c²=a²+b²-ab·cosC

　　也可表示为：

　　cosC=(a²+b²-c²)/ab

　　cosB=(a²+c²-b²)/ac

　　cosA=(c²+b²-a²)/bc

　　这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。

　　如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的(边-边-角)。要小心余弦定理的这种歧义情况。

　　3三角形余弦定理的证明

　　平面向量证法(觉得这个方法不是很好，平面的向量的公式a·b=|a||b|Cosθ本来还是由余弦定理得出来的，怎么又能反过来证明余弦定理)∵如图，有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小)

　　∴c·c=(a+b)·(a+b)

　　∴c²=a·a+2a·b+b·b∴c²=a²+b²+2|a||b|Cos(π-θ)

　　(以上粗体字符表示向量)

　　又∵Cos(π-θ)=-Cosθ

　　∴c²=a²+b²-2|a||b|Cosθ(注意：这里用到了三角函数公式)

　　再拆开，得c²=a²+b²-2abcosC

　　即cosC=(a2+b2-c2)/2*a*b

　　同理可证其他，而下面的cosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将cosC移到左边表示一下。

　　平面几何证法

　　在任意△ABC中

　　做AD⊥BC.

　　∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a

　　则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

　　根据勾股定理可得：

　　AC²=AD²+DC²

　　b²=(sinBc)²+(a-cosBc)²

　　b²=(sinB*c)²+a²-2accosB+(cosB)²c²

　　b²=(sinB2+cosB2)c²-2accosB+a²

　　b²=c²+a²-2accosB

　　cosB=(c²+a²-b²)/2ac

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