数学《中位线》教案
中位线
【知识与技能】
1.经历三角形中位线的性质定理形成过程.
2.掌握三角形中位线的性质定理，并能利用它解决简单的问题.
3.通过命题的教学了解常用的辅助线的作法，并能灵活运用它们解题，进一步训练说理的能力.
【过程与方法】
通过学习，进一步培养自主探究和合作交流的学习习惯.
【情感态度】
进一步了解特殊与一般的辩证唯物主义观点、转化的思想.
【教学重点】
三角形中位线的性质定理.
【教学难点】
三角形中位线的性质定理的应用.
一、情境导入，初步认识
在前面23.3节中，我们曾解决过如下的问题：如图，△ABC中，DE∥BC,则△ADE∽△ABC.由此可以进一步推知，当点D是AB的中点时，点E也是AC的中点.现在换一个角度考虑，如果点D、E原来就是AB与AC的中点，那么是否可以推出DE∥BC呢？DE与BC之间存在什么样的数量关系呢？
二、思考探究，获取新知
1.猜想：从画出的图形看，可以猜想：
DE∥BC,且DE= BC.
2.证明：如图，△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，∴ .∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC（如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似）,∴∠ADE=∠ABC, 相似三角形的对应角相等，对应边成比例），
∴DE∥BC且DE= BC.
思考：本题还有其他的解法吗？
已知：如图所示，在△ABC中，AD=DB，AE=EC.求证：DE∥BC,DE= BC.
【分析】要证DE∥BC,DE= BC,可延长DE到F，使EF=DE，于是本题就转化为证明DF=BC，DE∥BC,故只要证明四边形BCFD为平行四边形.
还可以作如下的辅助线.
【归纳结论】我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
【教学说明】介绍中位线时，强调它与中线的区别.
例1 求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.
已知：如图，在△ABC中，AD=DB，BE=EC，AF=FC.
求证：AE、DF互相平分.
【分析】要证AE、DF互相平分，即要证四边形ADEF为平行四边形.
证明：连结DE、EF.∵AD=DB,BE=EC,
∴DE∥AC，同理可得EF∥BA.
∴四边形ADEF是平行四边形.
∴AE、DF互相平分.
例2 如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于点G.求证： .
【分析】有两边中点易想到连接两边中点构造三角形的中位线.
思考：在例2的图中取AC的中点F，假设BF与AD相交于点G′，如图，那么我们同理可得 ，即两图中的G与G′是重合的，由此我们可以得出什么结论?
归纳：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的 .
三、运用新知，深化理解
1.如图，在?ABCD中，有E、F分别是AD、BC上的点，且DE=CF，BE和AF的交点为M，CE和DF的'交点为N.求证：MN∥AD,MN=12AD.
2.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E、F分别是AB、CD的中点，且AC=BD.求证：OM=ON.
【答案】1.解：连结EF，证四边形ABFE和四边形DCFE均为平行四边形，得FM=AM，FN=DN，∴MN∥AD,MN= AD.
2.解：取BC的中点G，连接EG，FG，
∵BG=CG，BE=AE，∴GE= AC，EG∥AC
∴∠ONM=∠GEF，同理GF= BD，
∠OMN=∠GFE，∵AC=BD，
∴GE=GF,∴∠GEF=∠GFE，
∴∠ONM=∠OMN，
∴OM=ON.
【教学说明】引导学生取BC的中点，构造中位线.
四、师生互动，课堂小结
1.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
2.三角形中位线定理的应用.
3.三角形重心的性质.
1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.4”中选取.
2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.
本课时从学过的知识入手猜想中位线的性质，并通过动手画图、操作，证明猜想，体会知识的形成过程，加深对知识的理解.在证明的过程中举一反三，用多种方法证明三角形中位线定理，通过具体的实例分析，提高学生应用知识的能力.
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