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高一数学《等比数列的性质及应用》教案
作为一名辛苦耕耘的教育工作者，时常需要用到教案，教案是教学活动的总的组织纲领和行动方案。快来参考教案是怎么写的吧！下面是小编为大家整理的高一数学《等比数列的性质及应用》教案，仅供参考，希望能够帮助到大家。
高一数学《等比数列的性质及应用》教案1
教学目标1.熟练运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和式以及有关性质，分析和解决等差、等比数列的综合问题。2.突出方程思想的应用，引导学生选择简捷合理的运算途径，提高运算速度和运算能力。3.用类比思想加深对等差数列与等比数列概念和性质的理解。教学重点与难点用方程的观点认识等差、等比数列的基础知识，从本质上掌握公式。例题例1三个互不相等的实数成等差数列，如果适当排列这三个数也可以成等比数列，又知这三个数的和为6，求这三个数。例2数列中，……，求的值。例3有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两个数之和是21，中间两个数的.和是18，求这四个数。例4已知数列的前项的和，求数列前项的和。例5是否存在等比数列，其前项的和组成的数列也是等比数列？例6数列是首项为0的等差数列，数列是首项为1的等比数列，设，数列的前三项依次为1，1，2，（1）求数列、的通项公式；
（2）求数列的前10项的和。例7已知数列满足，.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求的表达式和的表达式。
作业：
1.已知同号，则是成等比数列的
（a）充分而不必要条件（b）必要而不充分条件
（c）充要条件（d）既不充分而也不必要条件
2.如果和是两个等差数列，其中，那么等于
（a）（b）（c）3（d）
3.若某等比数列中，前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为
(a)180(b)108(c)75(d)63
4.已知数列，对所有，其前项的积为，求的值，5.已知为等差数列，前10项的和为，前100项的和为，求前110项的和
6.等差数列中，依次抽出这个数列的第项，组成数列，求数列的通项公式和前项和公式。
7.已知数列，（1）求通项公式；
（2）若，求数列的最小项的值；
（3）数列的前项和为，求数列前项的和.
8.三数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第三个数加上32又成等比数列，求这三个数。
高一数学《等比数列的性质及应用》教案2
一、教学目标：
1.知识与技能：理解并掌握等比数列的性质并且能够初步应用。
2.过程与方法：通过观察、类比、猜测等推理方法，提高我们分析、综合、抽象、
概括等逻辑思维能力。
3.情感态度价值观：体会类比在研究新事物中的作用，了解知识间存在的共同规律。
二、重点：等比数列的性质及其应用。
难点：等比数列的性质应用。
三、教学过程。
同学们，我们已经学习了等差数列，又学习了等比数列的基础知识，今天我们继续学习等比数列的性质及应用。我给大家发了导学稿，让大家做了预习，现在找同学对照下面的表格说说等差数列和等比数列的差别。
数列名称 等差数列 等比数列
定义 一个数列，若从第二项起 每一项减去前一项之差都是同一个常数，则这个数列是等差数列。 一个数列，若从第二项起 每一项与前一项之比都是同一个非零常数，则这个数列是等比数列。
定义表达式 an-an-1=d (n≥2)
(q≠0)
通项公式证明过程及方法
an-an-1=d; an-1-an-2=d，
…a2-a1=d
an-an-1+ an-1-an-2+…+a2-a1=(n-1)d
an=a1+(n-1)*d
累加法 ; …….
an=a1q n-1
累乘法
通项公式 an=a1+(n-1)*d an=a1q n-1
多媒体投影(总结规律)
数列名称 等差数列 等比数列
定 义 等比数列用“比”代替了等差数列中的“差”
定 义
表
达 式 an-an-1=d (n≥2)
通项公式证明
迭加法 迭乘法
通 项 公 式
加-乘
乘—乘方
通过观察，同学们发现：
等差数列中的 减法、加法、乘法，
等比数列中升级为 除法、乘法、乘方.
四、探究活动。
探究活动1：小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质，并派学生代表上来讲解练习1;等差数列的性质1;猜想等比数列的性质1;性质证明。
练习1 在等差数列{an}中，a2= -2,d=2，求a4=_____..(用一个公式计算) 解：a4= a2+(n-2)d=-2+(4-2)*2=2
等差数列的性质1： 在等差数列{an}中, a n=am+(n-m)d.
猜想等比数列的性质1 若{an}是公比为q的等比数列，则an=am*qn-m
性质证明 右边= am*qn-m= a1qm-1qn-m= a1qn-1=an=左边
应用 在等比数列{an}中，a2= -2 ,q=2，求a4=_____. 解：a4= a2q4-2=-2*22=-8
探究活动2：小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质，并派学生代表上来讲解练习2;等差数列的性质2;猜想等比数列的性质2;性质证明。
练习2 在等差数列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=450，则a2+a8的值为 . 解：a3+a4+a5+a6+a7=(a3+ a7)+(a4+ a6)+ a5= 2a5+2a5+a5=5 a5=450 a5=90 a2+a8=2×90=180
等差数列的性质2： 在等差数列{an}中, 若m+n=p+q,则am+an=ap+aq 特别的，当m=n时，2 an=ap+aq
猜想等比数列的性质2 在等比数列{an} 中，若m+n=s+t则am*an=as*at 特别的，当m=n时，an2=ap*aq
性质证明 右边=am*an= a1qm-1 a1qn-1= a12qm+n-1= a12qs+t-1=a1qs-1 a1qt-1= as*at=左边 证明的方向:一般来说，由繁到简
应用 在等比数列{an}若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=36,则a3+a5=_____. 解：a2a4+2a3a5+a4a6= a32+2a3a5+a52=(a3+a5)2=36
由于an>0，a3+a5>0,a3+a5=6
探究活动3：小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质，并派学生代表上来讲解练习3;等差数列的性质3;猜想等比数列的性质3;性质证明。
练习3 在等差数列{an}中，a30=10,a45=90,a60=_____. 解：a60=2* a45- a30=2×90-10=170
等差数列的性质3： 若an-k,an,an+k是等差数列{an}中的三项， 则这些项构成新的等差数列，且2an=an-k+an+k
an即时an-k,an,an+k的等差中项
猜想等比数列的性质3 若an-k,an,an+k是等比数列{an}中的三项，则这些项构成新的等比数列，且an2=an-k*an+k
an即时an-k,an,an+k的等比中项
性质证明 右边=an-k*an+k= a1qn-k-1 a1qn+k-1= a12qn-k-1+n+k-1= a12q2n-2=(a1qn-1) 2t=an2左边 证明的方向:由繁到简
应用 在等比数列 {an}中a30=10,a45=90,a60=_____.
解：a60= = =810
应用 等比数列{an}中，a15=10, a45=90,a60=________. 解：
a30= = = 30
A60=
探究活动4：小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质，并派学生代表上来讲解练习4;等差数列的性质4;猜想等比数列的性质4;性质证明。
练习4 设数列{an} 、{ bn} 都是等差数列，若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=_____. 解：a5+b5=2(a3+b3)-(a1+b1)=2*21-7=35
等差数列的性质4： 设数列{an} 、{ bn} 是公差分别为d1、d2的等差数列,则数列{an+bn}是公差d1+d2的等差数列 两个项数相同的等差数列的和任然是等差数列
猜想等比数列的'性质4 设数列{an} 、{ bn} 是公比分别为q1、q2的等比数列,则数列{an*bn}是公比为q1q2的等比数列 两个项数相同的等比数列的和比一定是等比数列，两个项数相同的等比数列的积任然是等比数列。
性质证明 证明：设数列{an}的首项是a1，公比为q1; {bn}的首项为b1，公比为q2，设cn=anbn那么数列{anbn} 的第n项与第n+1项分别为：
应用 设数列{an} 、{ bn} 都是等比数列，若a1b1=7,a3b3=21,则a5b5=_____. 解：由题意可知{anbn}是等比数列，a3b3是a1b1;a5b5的等比中项。
由(a3b3)2= a1b1* a5b5 212= 7* a5b5 a5b5=63
(四个探究活动的设计充分尊重学生的主体地位，以学生的自主学习，自主探究为主题，以教师的指导为辅，开展教学活动)
五、等比数列具有的单调性
(1)q<0,等比数列为 摆动 数列， 不具有 单调性
(2)q>0(举例探讨并填表)
a1 a1>0 a1<0
q的范围 0 q=1 q>1 0 q=1 q>1
{an}的单调性 单调递减 不具有单调性 单调递增 单调递增 不具有单调性 单调递减
让学生举例说明，并查验有多少学生填对。(真确评价)
六、课堂练习：
1、已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6等于( ).
A. B.7 C.6 D.
解析:由已知得a32=5, a82=10,
∴a4a5a6=a53= = =5 .
答案:A
2、已知数列1,a1,a2,4是等比数列,则a1a2= .
答案:4
3、 +1与 -1两数的等比中项是( ).
A.1 B.-1 C. D.±1
解析：根据等比中项的定义式去求。答案:选D
4、已知等比数列{an}的公比为正数,且a3a9=2 ,a2=1,则a1等于( ).
A.2 B. C. D.
解析:∵a3a9= =2 ,∴ =q2=2,∵q>0,∴q= .故a1= = = .
答案:C
5练习题：三个数成等比数列，它们的和等于14，
它们的积等于64，求这三个数。
分析：若三个数成等差数列，则设这三个数为a-d,a,a+d.
由类比思想的应用可得，若三个数成等比数列，则设这三个数
为： 根据题意
再由方程组可得：q=2 或
既这三个数为2，4，8或8，4，2。
七、小结
本节课通过观察、类比、猜测等推理方法，研究等比数列的性质及其应用，从而培养和提高我们综合运用分析、综合、抽象、概括，逻辑思维解决问题的能力。
八、
§3.1.2等比数列的性质及应用
性质一：若{an}是公比为q的等比数列，则an=am*qn-m
性质二：在等比数列{an} 中，若m+n=s+t则am*an=as*at
性质三：若an-k,an,an+k是等比数列{an}中的三项，则这些
项构成新的等比数列，且 an2=an-k*an+k
性质四：设数列{an} 、{ bn} 是公比分别为q1、q2的等比
数列,则数列{an*bn}是公比为q1q2的等比数列
板书设计
九、反思
高一数学《等比数列的性质及应用》教案3
等比数列的性质
知能目标解读
1.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质和由来。
2.理解等比数列的性质及应用。
3.掌握等比数列的性质并能综合运用。
重点难点点拨
重点：等比数列性质的运用。
难点：等比数列与等差数列的综合应用。
学习方法指导
1.在等比数列中，我们随意取出连续三项及以上的数，把它们重新依次看成一个新的数列，则此数列仍为等比数列，这是因为随意取出连续三项及以上的数，则以取得的第一个数为首项，且仍满足从第2项起，每一项与它的前一项的比都是同一个常数，且这个常数量仍为原数列的公比，所以，新形成的数列仍为等比数列。
2.在等比数列中，我们任取下角标成等差的三项及以上的数，按原数列的先后顺序排列所构成的数列仍是等比数列，简言之：下角标成等差，项成等比。我们不妨设从等比数列{an}中依次取出的数为ak，ak+m，ak+2m，ak+3m，…，则===…=qm(q为原等比数列的公比)，所以此数列成等比数列。
3.如果数列{an}是等比数列，公比为q，c是不等于零的常数，那么数列{can}仍是等比数列，且公比仍为q；？{|an|}？也是等比，且公比为|q|.我们可以设数列{an}的公比为q，且满足=q，则==q，所以数列{can}仍是等比数列，公比为q.同理，可证{|an|}也是等比数列，公比为|q|.
4.在等比数列{an}中，若m+n=t+s且m，n，t，s∈N+则aman=atas.理由如下：因为aman=a1qm-1a1qn-1
=a21qm+n-2，atas=a1qt-1a1qs-1=a21qt+s-2，又因为m+n=t+s，所以m+n-2=t+s-2，所以aman=atas.从此性质还可得到，项数确定的等比数列，距离首末两端相等的两项之积等于首末两项之积。
5.若{an}，{bn}均为等比数列，公比分别为q1，q2，则
(1){anbn}仍为等比数列，且公比为q1q2.
(2){}仍为等比数列，且公比为.
理由如下：(1)=q1q2，所以{anbn}仍为等比数列，且公比为q1q2；(2)=，所以{}仍为等比数列，且公比为.
知能自主梳理
1.等比数列的项与序号的关系
(1)两项关系
通项公式的推广：
an=am(m、n∈N+).
(2)多项关系
项的运算性质
若m+n=p+q(m、n、p、q∈N+)，则aman=.
特别地，若m+n=2p(m、n、p∈N+)，则aman=.
2.等比数列的项的对称性
有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积(若有中间项则等于中间项的平方)，即a1an=a2=ak=a2(n为正奇数).
[答案] 1.qn-m apaq a2p
2.an-1 an-k+1
思路方法技巧
命题方向 运用等比数列性质an=amqn-m(m、n∈N+)解题
[例1] 在等比数列{an}中，若a2=2，a6=162，求a10.
[分析] 解答本题可充分利用等比数列的性质及通项公式，求得q，再求a10.
[解析] 解法一：设公比为q，由题意得
a1q=2a1=a1=-
，解得，或.
a1q5=162q=3q=-3
∴a10=a1q9=×39=13122或a10=a1q9=-×(-3)9=13122.
解法二：∵a6=a2q4，∴q4===81，∴a10=a6q4=162×81=13122.
解法三：在等比数列中，由a26=a2a10得
a10===13122.
[说明] 比较上述三种解法，可看出解法二、解法三利用等比数列的性质求解，使问题变得简单、明了，因此要熟练掌握等比数列的性质，在解有关等比数列的问题时，要注意等比数列性质的应用。
变式应用1 已知数列{an}是各项为正的等比数列，且q≠1，试比较a1+a8与a4+a5的大小。
[解析] 解法一：由已知条件a1>0，q>0，且q≠1，这时
(a1+a8)-(a4+a5)=a1(1+q7-q3-q4)=a1(1-q3)(1-q4)
=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q+q2+q3)>0，显然，a1+a8>a4+a5.
解法二：利用等比数列的性质求解。
由于(a1+a8)-(a4+a5)=(a1-a4)-(a5-a8)
=a1(1-q3)-a5(1-q3)=(1-q3)(a1-a5).
当0
当q>1时，此正数等比数列单调递增，1-q3与a1-a5同为负数，∵(a1+a8)-(a4+a5)恒正。
∴a1+a8>a4+a5.
命题方向运用等比数列性质aman=apaq(m，n，p，q∈N+，且m+n=p+q)解题
[例2] 在等比数列{an}中，已知a7a12=5，则a8a9a10a11=( )
A.10 B.25 C.50 D.75
[分析] 已知等比数列中两项的积的问题，常常离不开等比数列的性质，用等比数列的性质会大大简化运算过程。
[答案] B
[解析] 解法一：∵a7a12=a8a11=a9a10=5，∴a8a9a10a11=52=25.
解法二：由已知得a1q6a1q11=a21q17=5，∴a8a9a10a11=a1q7a1q8a1q9a1q10=a41q34=(a21q17)2=25.
[说明] 在等比数列的有关运算中，常常涉及次数较高的指数运算，若按照常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦，为此我们经常结合等比数列的性质，进行整体变换，会起到化繁为简的效果。
变式应用2 在等比数列{an}中，各项均为正数，且a6a10+a3a5=41，a4a8=5，求a4+a8.
[解析] ∵a6a10=a28，a3a5=a24，∴a28+a24=41.
又∵a4a8=5，an>0，∴a4+a8===.
探索延拓创新
命题方向 等比数列性质的综合应用
[例3] 试判断能否构成一个等比数列{an}，使其满足下列三个条件：
①a1+a6=11；②a3a4=；③至少存在一个自然数m，使am-1，am，am+1+依次成等差数列，若能，请写出这个数列的通项公式；若不能，请说明理由。
[分析] 由①②条件确定等比数列{an}的通项公式，再验证是否符合条件③.
[解析] 假设能够构造出符合条件①②的`等比数列{an}，不妨设数列{an}的公比为q，由条件①②及a1a6=a3a4，得
a1+a6=11 a1=a1=
，解得，或
a1a6=a6=a6=.
a1=a1=
从而，或.
q=2q=
故所求数列的通项为an=2n-1或an=26-n.
对于an=2n-1，若存在题设要求的m，则
2am=am-1+(am+1+)，得
2(2m-1)=2m-2+2m+，得
2m+8=0，即2m=-8，故符合条件的m不存在。
对于an=26-n，若存在题设要求的m，同理有
26-m-8=0，即26-m=8，∴m=3.
综上所述，能够构造出满足条件①②③的等比数列，通项为an=26-n.
[说明] 求解数列问题时应注意方程思想在解题中的应用。
变式应用3 在等差数列{an}中，公差d≠0，a2是a1与a4的等比中项，已知数列a1，a3，ak1，ak2，…，akn，……成等比数列，求数列{kn}的通项kn.
[解析] 由题意得a22=a1a4，即(a1+d)2=a1(a1+3d)，又d≠0，∴a1=d.
∴an=nd.
又a1，a3，ak1，ak2，……，akn，……成等比数列，∴该数列的公比为q===3.
∴akn=a13n+1.
又akn=knd，∴kn=3n+1.
所以数列{kn}的通项为kn=3n+1.
名师辨误做答
[例4] 四个实数成等比数列，且前三项之积为1，后三项之和为1，求这个等比数列的公比。
[误解] 设这四个数为aq-3，aq-1，aq，aq3，由题意得
a3q-3=1，①
aq-1+aq+aq3=1.②
由①得a=q，把a=q代入②并整理，得4q4+4q2-3=0，解得q2=或q2=-(舍去)，故所求的公比为.
[辨析] 上述解法中，四个数成等比数列，设其公比为q2，则公比为正数，但题设并无此条件，因此导致结果有误。
[正解] 设四个数依次为a，aq，aq2，aq3，由题意得
(aq)3=1， ①
aq+aq2+aq3=1. ②
由①得a=q-1，把a=q-1代入②并整理，得4q2+4q-3=0，解得q=或q=-，故所求公比为或-.
课堂巩固训练
一、选择题
1.在等比数列{an｝中，若a6=6，a9=9，则a3等于( )
A.4 B. C. D.3？
[答案] A？
[解析] 解法一：∵a6=a3q3，∴a3q3=6.？
a9=a6q3，∴q3==.
∴a3==6×=4.
解法二：由等比数列的性质，得
a26=a3a9，∴36=9a3，∴a3=4.
2.在等比数列{an｝中，a4+a5=10，a6+a7=20，则a8+a9等于( )
A.90 B.30 C.70 D.40
[答案] D
[解析] ∵q2==2，？
∴a8+a9=(a6+a7)q2=20q2=40.
3.如果数列{an｝是等比数列，那么( )？
A.数列{a2n｝是等比数列 B.数列{2an｝是等比数列
C.数列{lgan｝是等比数列 D.数列{nan｝是等比数列
[答案] A
[解析] 数列{a2n｝是等比数列，公比为q2，故选A.
二、填空题
4.若a，b，c既成等差数列，又成等比数列，则它们的公比为.？
[答案] 1？
2b=a+c，[解析] 由题意知
b2=ac，解得a=b=c，∴q=1.
5.在等比数列{an｝中，公比q=2，a5=6，则a8=.？
[答案] 48
[解析] a8=a5q8-5=6×23=48.
三、解答题
6.已知{an}为等比数列，且a1a9=64，a3+a7=20，求a11.？
[解析] ∵{an}为等比数列，？
∴a1a9=a3a7=64，又a3+a7=20，？
∴a3，a7是方程t2-20t+64=0的两个根。？
∴a3=4，a7=16或a3=16，a7=4，？
当a3=4时，a3+a7=a3+a3q4=20，？
∴1+q4=5，∴q4=4.？
当a3=16时，a3+a7=a3(1+q4)=20，∴1+q4=，∴q4=.？
∴a11=a1q10=a3q8=64或1.
课后强化作业
一、选择题
1.在等比数列{an}中，a4=6，a8=18，则a12=( )
A.24 B.30 C.54 D.108？
[答案] C？
[解析] ∵a8=a4q4，∴q4===3，∴a12=a8q4=54.
2.在等比数列{an｝中，a3=2-a2，a5=16-a4，则a6+a7的值为( )
A.124 B.128 C.130 D.132
[答案] B？
[解析] ∵a2+a3=2，a4+a5=16，？
又a4+a5=(a2+a3)q2，∴q2=8.？
∴a6+a7=(a4+a5)q2=16×8=128.
3.已知{an｝为等比数列，且an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5等于( )
A.5 B.10 C.15 D.20？
[答案] A？
[解析] ∵a32=a2a4，a52=a4a6，？
∴a32+2a3a5+a52=25，∴(a3+a5)2=25，？
又∵an>0，∴a3+a5=5.
4.在正项等比数列{an｝中，a1和a19为方程x2-10x+16=0的两根，则a8a10a12等于( )
A.16 B.32 C.64 D.256？
[答案] C？
[解析] 由已知，得a1a19=16，？
又∵a1a19=a8a12=a102，∴a8a12=a102=16，又an>0，？
∴a10=4，∴a8a10a12=a103=64.
5.已知等比数列{an}的公比为正数，且a3a9=2a25，a2=1，则a1=( )？
A. B. C. D.2？
[答案] B？
[解析] ∵a3a9=a26，又∵a3a9=2a25，？
∴a26=2a25，∴()2=2，？
∴q2=2，∵q>0，∴q=.
又a2=1，∴a1===.
6.在等比数列{an｝中，an>an+1，且a7a11=6，a4+a14=5，则等于( )
A. B. C. D.6
[答案] A
a7a11=a4a14=6
[解析] ∵
a4+a14=5
a4=3a4=2
解得或.
a14=2a14=3
又∵an>an+1，∴a4=3，a14=2.
∴==.
7.已知等比数列{an｝中，有a3a11=4a7，数列{bn｝是等差数列，且b7=a7，则b5+b9等于( )
A.2 B.4 C.8 D.16
[答案] C
[解析] ∵a3a11=a72=4a7，∵a7≠0，∴a7=4，∴b7=4，∵{bn}为等差数列，∴b5+b9=2b7=8.
8.已知0
( )
A.等差数列？ B.等比数列？
C.各项倒数成等差数列？ D.以上都不对？
[答案] C？
[解析] ∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac.？
又∵+=logna+lognc=lognac
=2lognb=，？
∴+=.
二、填空题
9.等比数列{an｝中，an>0，且a2=1+a1，a4=9+a3，则a5-a4等于.
[答案] 27
[解析] 由题意，得a2-a1=1，a4-a3=(a2-a1)q2=9，∴q2=9，又an>0，∴q=3.？
故a5-a4=(a4-a3)q=9×3=27.
10.已知等比数列{an｝的公比q=-，则等于.
[答案] -3
[解析] =
==-3.
11.等比数列{an}中，an>0，且a5a6=9，则log3a2+log3a9=.
[答案] 2
[解析] ∵an>0，∴log3a2+log3a9=log3a2a9
=log3a5a6=log39=log332=2.
12.(20xx广东文，11)已知{an｝是递增等比数列，a2=2，a4-a3=4，则此数列的公比q= .
[答案] 2？
[解析] 本题主要考查等比数列的基本公式，利用等比数列的通项公式可解得。
解析：a4-a3=a2q2-a2q=4，？
因为a2=2，所以q2-q-2=0，解得q=-1，或q=2.
因为an为递增数列，所以q=2.
三、解答题
13.在等比数列{an｝中，已知a4a7=-512，a3+a8=124，且公比为整数，求a10.
[解析] ∵a4a7=a3a8=-512，a3+a8=124a3=-4a3=128
∴，解得或.
a3a8=-512a8=128a8=-4
又公比为整数，∴a3=-4，a8=128，q=-2.
∴a10=a3q7=(-4)×(-2)7=512.
14.设{an｝是各项均为正数的等比数列，bn=log2an，若b1+b2+b3=3，b1b2b3=-3，求此等比数列的通项公式an.？
[解析] 由b1+b2+b3=3，？
得log2(a1a2a3)=3，∴a1a2a3=23=8，∵a22=a1a3，∴a2=2，又b1b2b3=-3，设等比数列{an｝的公比为q，得？
log2()log2(2q)=-3.
解得q=4或，∴所求等比数列{an｝的通项公式为
an=a2qn-2=22n-3或an=25-2n.
15.某工厂20xx年生产某种机器零件100万件，计划到20xx年把产量提高到每年生产121万件。如果每一年比上一年增长的百分率相同，这个百分率是多少？20xx年生产这种零件多少万件？.
[解析] 设每一年比上一年增长的百分率为x，则从20xx年起，连续3年的产量依次为a1=100，a2=a1(1+x)，a3=a2(1+x)，即a1=100，a2=100(1+x)，a3=100(1+x)2，成等比数列。
由100(1+x)2=121得(1+x)2=1.21，∴1+x=1.1或1+x=-1.1，？
∴x=0.1或x=-2.1(舍去)，？
a2=100(1+x)=110(万件)，？
所以每年增长的百分率为10%，20xx年生产这种零件110万件。
16.等差数列{an}中，a4=10，且a3，a6，a10成等比数列。求数列{an}前20项的和S20.
[解析] 设数列{an}的公差为d，则a3=a4-d=10-d，a6=a4+2d=10+2d，a10=a4+6d=10+6d.
由a3，a6，a10成等比数列得a3a10=a26，？
即(10-d)(10+6d)=(10+2d)2，？
整理得10d2-10d=0，解得d=0或d=1.
当d=0时，S20=20a4=200，？
当d=1时，a1=a4-3d=10-3×1=7，？
于是，S20=20a1+d=20×7+190=330.
高一数学《等比数列的性质及应用》教案4
教学目标
1.理解的概念，掌握的通项公式，并能运用公式解决简单的问题。
（1）正确理解的定义，了解公比的概念，明确一个数列是的限定条件，能根据定义判断一个数列是，了解等比中项的概念；
（2）正确认识使用的表示法，能灵活运用通项公式求的首项、公比、项数及指定的项；
（3）通过通项公式认识的性质，能解决某些实际问题。
2.通过对的研究，逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维品质。
3.通过对概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯，以及实事求是的科学态度。
教学建议
教材分析
（1）知识结构
是另一个简单常见的数列，研究内容可与等差数列类比，首先归纳出的定义，导出通项公式，进而研究图像，又给出等比中项的概念，最后是通项公式的应用。
（2）重点、难点分析
教学重点是的定义和对通项公式的认识与应用，教学难点在于通项公式的推导和运用。
①与等差数列一样，也是特殊的数列，二者有许多相同的性质，但也有明显的区别，可根据定义与通项公式得出的特性，这些是教学的重点。
②虽然在等差数列的学习中曾接触过不完全归纳法，但对学生来说仍然不熟悉；在推导过程中，需要学生有一定的观察分析猜想能力；第一项是否成立又须补充说明，所以通项公式的推导是难点。
③对等差数列、的综合研究离不开通项公式，因而通项公式的灵活运用既是重点又是难点。
教学建议
（1）建议本节课分两课时，一节课为的概念，一节课为通项公式的应用。
（2）概念的引入，可给出几个具体的例子，由学生概括这些数列的相同特征，从而得到的定义。也可将几个等差数列和几个混在一起给出，由学生将这些数列进行分类，有一种是按等差、等比来分的，由此对比地概括的定义。
（3）根据定义让学生分析的公比不为0，以及每一项均不为0的特性，加深对概念的理解。
（4）对比等差数列的表示法，由学生归纳的各种表示法。启发学生用函数观点认识通项公式，由通项公式的结构特征画数列的图象。
（5）由于有了等差数列的研究经验，的研究完全可以放手让学生自己解决，教师只需把握课堂的节奏，作为一节课的组织者出现。
（6）可让学生相互出题，解题，讲题，充分发挥学生的主体作用。
教学设计示例
课题：的概念
教学目标
1.通过教学使学生理解的概念，推导并掌握通项公式。
2.使学生进一步体会类比、归纳的思想，培养学生的观察、概括能力。
3.培养学生勤于思考，实事求是的精神，及严谨的科学态度。
教学重点，难点
重点、难点是的定义的归纳及通项公式的推导。
教学用具
投影仪，多媒体软件，电脑。
教学方法
讨论、谈话法。
教学过程
一、提出问题
给出以下几组数列，将它们分类，说出分类标准。（幻灯片）
①－2，1，4，7，10，13，16，19，…
②8，16，32，64，128，256，…
③1，1，1，1，1，1，1，…
④243，81，27，9，3，1，…
⑤31，29，27，25，23，21，19，…
⑥1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，…
⑦1，－10，100，－1000，10000，－100000，…
⑧0，0，0，0，0，0，0，…
由学生发表意见（可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列，也可能分为等差、等比两类），统一一种分法，其中②③④⑥⑦为有共同性质的一类数列（学生看不出③的情况也无妨，得出定义后再考察③是否为）.
二、讲解新课
请学生说出数列②③④⑥⑦的共同特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如变形虫分裂问题。假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫，再假设开始有一个变形虫，经过一个单位时间它分裂为两个变形虫，经过两个单位时间就有了四个变形虫，…，一直进行下去，记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这是我们将要研究的另一类数列——.（这里播放变形虫分裂的多媒体软件的第一步）
（板书）
1.的`定义（板书）
根据与等差数列的名字的区别与联系，尝试给下定义。学生一般回答可能不够完美，多数情况下，有了等差数列的基础是可以由学生概括出来的。教师写出的定义，标注出重点词语。
请学生指出②③④⑥⑦各自的公比，并思考有无数列既是等差数列又是。学生通过观察可以发现③是这样的数列，教师再追问，还有没有其他的例子，让学生再举两例。而后请学生概括这类数列的一般形式，学生可能说形如的数列都满足既是等差又是，让学生讨论后得出结论：当时，数列既是等差又是，当时，它只是等差数列，而不是。教师追问理由，引出对的认识：
2.对定义的认识（板书）
（1）的首项不为0；
（2）的每一项都不为0，即；
问题：一个数列各项均不为0是这个数列为的什么条件？
（3）公比不为0
用数学式子表示的定义。
是①.在这个式子的写法上可能会有一些争议，如写成，可让学生研究行不行，好不好；接下来再问，能否改写为是？为什么不能？
式子给出了数列第项与第项的数量关系，但能否确定一个？（不能）确定一个需要几个条件？当给定了首项及公比后，如何求任意一项的值？所以要研究通项公式。
3.的通项公式（板书）
问题：用和表示第项
①不完全归纳法
②叠乘法，…，这个式子相乘得，所以
（板书）（1）的通项公式
得出通项公式后，让学生思考如何认识通项公式。
（板书）（2）对公式的认识
由学生来说，最后归结：
①函数观点；
②方程思想（因在等差数列中已有认识，此处再复习巩固而已）.
这里强调方程思想解决问题。方程中有四个量，知三求一，这是公式最简单的应用，请学生举例（应能编出四类问题）.解题格式是什么？（不仅要会解题，还要注意规范表述的训练）
如果增加一个条件，就多知道了一个量，这是公式的更高层次的应用，下节课再研究。同学可以试着编几道题。
三、小结
1.本节课研究了的概念，得到了通项公式；
2.注意在研究内容与方法上要与等差数列相类比；
3.用方程的思想认识通项公式，并加以应用。
四、作业（略）
五、板书设计
1.的定义
2.对定义的认识
3.的通项公式
（1）公式
（2）对公式的认识
探究活动
将一张很大的薄纸对折，对折30次后（如果可能的话）有多厚？不妨假设这张纸的厚度为0.01毫米。
参考答案：
30次后，厚度为，这个厚度超过了世界最高的山峰——珠穆朗玛峰的高度。如果纸再薄一些，比如纸厚0.001毫米，对折34次就超过珠穆朗玛峰的高度了。还记得国王的承诺吗？第31个格子中的米已经是1073741824粒了，后边的格子中的米就更多了，最后一个格子中的米应是粒，用计算器算一下吧（用对数算也行）.
高一数学《等比数列的性质及应用》教案5
一、教材分析
1.从在教材中的地位与作用来看
《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
2.从学生认知角度看
从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q=1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。
3.学情分析
教学对象是刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨。
4.重点、难点
教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用。
教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用。
公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点。
二、目标分析
知识与技能目标：
理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础
上能初步应用公式解决与之有关的问题。
过程与方法目标：
通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转
化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力。
情感与态度价值观：
通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之
间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。
三、过程分析
学生是认知的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程，结合本节课的特点，我设计了如下的教学过程：
1.创设情境，提出问题
在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求。西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格。国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊。为什么呢？
设计意图：设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性。故事内容紧扣本节课的主题与重点。
此时我问：同学们，你们知道西萨要的.是多少粒小麦吗？引导学生写出麦粒总数。带着这样的问题，学生会动手算了起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和。这时我对他们的这种思路给予肯定。
设计意图：在实际教学中，由于受课堂时间限制，教师舍不得花时间让学生去做所谓的“无用功”，急急忙忙地抛出“错位相减法”，这样做有悖学生的认知规律：求和就想到相加，这是合乎逻辑顺理成章的事，教师为什么不相加而马上相减呢？在整个教学关键处学生难以转过弯来，因而在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围，突破学生学习的障碍。同时，形成繁难的情境激起了学生的求知欲，迫使学生急于寻求解决问题的新方法，为后面的教学埋下伏笔。
2.师生互动，探究问题
在肯定他们的思路后，我接着问：1，2，22，…，263是什么数列？有何特征？应归结为什么数学问题呢？
探讨1：，记为(1)式，注意观察每一项的特征，有何联系？(学生会发现，后一项都是前一项的2倍)
探讨2：如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，(1)式两边同乘以2则有，记为(2)式。比较(1)(2)两式，你有什么发现？
设计意图：留出时间让学生充分地比较，等比数列前n项和的公式推导关键是变“加”为“减”，在教师看来这是“天经地义”的，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而抓住培养学生的辩证思维能力的良好契机。
经过比较、研究，学生发现：(1)、(2)两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了，得到：.老师指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程，反思：为什么(1)式两边要同乘以2呢？
设计意图：经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，不禁惊呼：真是太简洁了！让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心。
3.类比联想，解决问题
这时我再顺势引导学生将结论一般化，这里，让学生自主完成，并喊一名学生上黑板，然后对个别学生进行指导。
设计意图：在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感。
对不对？这里的q能不能等于1？等比数列中的公比能不能为
1q=1时是什么数列？此时sn=？(这里引导学生对q进行分类讨论，得出公式，同时为后面的例题教学打下基础。)
再次追问：结合等比数列的通项公式an=a1qn-1，如何把sn用a1、an、q表示出来？(引导学生得出公式的另一形式)
设计意图：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力。这一环节非常重要，尽管时间有时比较少，甚至仅仅几句话，然而却有画龙点睛之妙用。
4.讨论交流，延伸拓展
高一数学《等比数列的性质及应用》教案6
教学设计示例
课题：等比数列前项和的公式
教学目标
（1）通过教学使学生掌握等比数列前项和公式的推导过程，并能初步运用这一方法求一些数列的前项和。
（2）通过公式的推导过程，培养学生猜想、分析、综合能力，提高学生的数学素质。
（3）通过教学进一步渗透从特殊到一般，再从一般到特殊的辩证观点，培养学生严谨的学习态度。
教学重点，难点
教学重点是公式的推导及运用，难点是公式推导的思路。
教学用具
幻灯片，课件，电脑。
教学方法
引导发现法。
教学过程
一、新课引入：
（问题见教材第129页）提出问题：（幻灯片）
二、新课讲解：
记，式中有64项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消。
（板书）即，①
，②
②－①得即.
由此对于一般的等比数列，其前项和，如何化简？
（板书）等比数列前项和公式
仿照公比为2的等比数列求和方法，等式两边应同乘以等比数列的'公比，即
（板书）③两端同乘以，得
④，③－④得⑤，（提问学生如何处理，适时提醒学生注意的取值）
当时，由③可得（不必导出④，但当时设想不到）
当时，由⑤得.
于是
反思推导求和公式的方法——错位相减法，可以求形如的数列的和，其中为等差数列，为等比数列。
（板书）例题：求和：.
设，其中为等差数列，为等比数列，公比为，利用错位相减法求和。
解：，两端同乘以，得
，两式相减得
于是.
说明：错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题。
公式其它应用问题注意对公比的分类讨论即可。
三、小结：
1.等比数列前项和公式推导中蕴含的思想方法以及公式的应用；
2.用错位相减法求一些数列的前项和。
四、作业：略。
五、板书设计：
等比数列前项和公式例题
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