高二数学导数教案
【课题】导数与函数的单调性
【教材】北京师范大学出版社《数学》选修1-1
【教材分析】
“导数与函数的单调性”是北师大版普通高中课程标准实验教科书数学选修1－1第四章《导数应用》第一节的内容。本节的教学内容是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容，学好它既可加深对导数的理解，又可为后面研究函数的极值和最值打好基础。
函数的单调性是函数极为重要的性质。在高一学生利用函数单调性的定义、函数的图像来判断函数的单调性，通过本节课学习，利用导数来判断函数的单调性，是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用。同时，为下一节学习利用导数研究函数的极值、最值有重要的帮助。因此，学习本节内容具有承上启下的作用。
【学生学情分析】
由于学生在高一已经掌握了单调性的定义，并能用定义判定在给定区间上函数的单调性。通过本节课的学习，应使学生体验到，用导数判断单调性要比用定义判断简捷得多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图像难以画出的函数而言），充分体现了导数解决问题的优越性。虽然函数单调性的概念在高一学过，但现在可能已忘记；因此对于单调性概念的理解不够准确，同时导数是学生刚学习的概念，如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点。
【教学目标】
1.知识与能力：
会利用导数解决函数的单调性及单调区间。
2.过程与方法：
通过利用导数研究单调性问题的探索过程,体会从特殊到一般的、数形结合的研究方法。
3.情感态度与价值观：
通过导数方法研究单调性问题，体会到不同数学知识间的内在联系，同时通过学生动手、观察、思考、总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。通过导数研究单调性的步骤的形成和使用，使得学生认识到利用导数解决一些函数（尤其是三次、三次以上的多项式函数）的问题，因而认识到导数的实用价值。
【教学重点和难点】
对于本节课学生的认知困难主要体现在：用准确的数学语言描述函数单调性与导数的关系，这种由特殊到一般、数到形、直观到抽象的转变，对学生是比较困难的。根据以上的分析和新课程标准的要求，我确定了本节课的重点和难点。
教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。
教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。
【教学设计思路】
现代教学观念要求学生从“学会”向“会学”转变，本节可从单调性与导数的关系的发现到应用都有意识营造一个较为自由的空间，让学生能主动的去观察、猜测、发现、验证，积极的动手、动口、动脑，使学生在学知识同时形成思想、方法。
整个教学过程突出了三个注重：
1、注重学生参与知识的形成过程，体验应用数学知识解决简单数学问题的乐趣。
2、注重师生、生生间的互相协作、共同提高。
3、注重知能统一，让学生获得知识同时，掌握方法，灵活应用。
根据新课程标准的要求，本节课的'知识目标定位在以下三个方面：
一是能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间；
二是掌握判断函数单调性的方法；
三是能由导数信息绘制函数大致图像。
【教法预设】
1．教学方法的选择：
为在课堂上，突出学生的主体地位，本节课拟运用“问题--- 解决”课堂教学模式，采用启发式、讲练结合的教学方法。通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题，总结规律，培养积极探索的科学精神。
2．教学手段的利用：
本节课采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量，通过数形结合，使抽象的知识直观化，形象化，以促进学生的理解。
【学法预设】
为使学生积极参与课堂学习，我主要指导了以下的学习方法：
1．合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题；
2．自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动；
3．探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知。
【课时安排】 1 课时
【教学准备】
多媒体（画出函数① ② ③ 在同一个坐标系下的图像）；并写出以下四个函数：① ，
② ，③ ，
④
【教学过程】
一、新课引入：
1.函数增减性的定义是什么？
2.导数的定义是什么？
学生活动：思考以前学习过的数学知识，说出两个问题的概念的要点来。
设计意图：引导学生理解函数的单调性概念及导数的概念
板书课题：导数与函数的单调性
二、新课教学：
1.探究函数的导数与函数的单调性的关系
显示多媒体（出示3个函数的解析式及图像）引导学生观察并回答以下问题：
①这3个函数图像都是直线，其斜率分别是多少？其值有何特点？单调性如何？
②分别求出这3 个函数的导数？并观察其导数值有何特点？
板书：
①函数 ，其直线斜率K=1，其导数值 0
②函数 ，其斜率K=2，其导数值
③函数 ，其斜率K=-3，其导数值
学生思考并归纳总结
①每一条直线的斜率值等于该函数的导数值。
②函数的导数值大于零时，其函数为单调递增；函数的导数值小于零时，其函数为单调递减。
显示多媒体（出示4个函数的解析式）：引导学生完成以下问题：
①在不同坐标系下分别做出这4个函数的图像？
②分别求出这4个函数的导数？
设计意图：让各小组学生观察导数的符号与函数图像有何联系并交流、讨论总结。
学生活动：学生思考并举手，教师指定一个学生上台作图。再指定一个学生上台求出函数的导数。
a 作图（略）
b 4个函数的导数是：
① ② ③ ④
引导学生思考并提出以下问题：
①每一个函数在某一点的切线斜率值是否等于该函数在该点处的导数值？
②同一个函数在每一点处的切线的斜率值有何特点？它与该函数的单调性有何联系呢？
③同一个函数的单调性与该函数的导数值有何联系呢？
设计意图：从具体的函数出发，让学生体会从特殊到一般，从具体到抽象的过程，让学生在老师的引导下自主学习和探索总结出曲线的切线的斜率与导数的关系及曲线函数的导数与曲线的单调性之间的关系。让学生经历观察、分析、归纳、发现曲线的单调性也与函数的导数符号有关。
板书：
抽象概括：一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内
⑴如果恒有 f′(x)>0，那么 y=f（x)在这个区间（a,b)内单调递增；
⑵如果恒有 f′(x)<0，那么 y=f（x）在这个区间(a,b)内单调递减。
注意：
①正确理解 “ 某个区间 ”的含义，它必是定义域内的某个子区间。
②如果在某个区间内恒有f′(x)＝0 ,则 f(x) 为常数函数。
2.例题讲解：
例1：求函数 的单调递增区间与递减区间。
分析：
根据上面结论，我们知道函数的单调性与函数导数的符号有关。因此，可以通过分析导数的符号求出函数的单调区间。
解：引导学生回答问题并同时板书。
①函数 的定义域是什么？其导数如何求？
函数的定义域是 ，其导数值是：
②若 时， 的范围是什么？若 时， 的范围又是什么？
当 或 时， ，因此，在这两个区间上，函数是增加的；
当 时， ，因此，在这个区间上，函数是减少的。
所以，函数 的递增区间为 和 ；
递减区间为 。
③讨论函数单调性的一般步骤是什么？
板书：
a 求函数 的导数。
b 讨论单调区间，解不等式 ，解集为增区间；解不等式 ，解集为减区间。
c 得出结论。
设计意图：通过实例让学生掌握利用函数的导数符号来判定函数单调性的方法及过程；进一步让学生体会利用导数工具解决函数的单调性问题以及它的简便性。
3.课堂练习：
教材第83页练习题1、 2
4.课堂小结：
本节课从几个函数的图像与其在区间内的导数值之间的关系，归纳总结函数单调性与导数的关系，根据它们之间的关系通过例题讲解让学生明确了利用导数求函数单调性的方法，并掌握了求函数单调性的一般步骤。
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