高考数学知识梳理三角函数的应用复习教案

关于高考数学知识梳理三角函数的应用复习教案

　　教案48 三角函数的应用

　　一、前检测

　　1．证明：

　　2．在△ABC中，求证：

　　3.轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船的航行方向之间的夹角为 ，轮船A的航行速度是25 n mile/h，轮船B的航行速度是15 n mile/h，下午2时两船之间的距离是多少？

　　答案：70 n mile/h

　　二、知识梳理

　　1．正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等

　　解读：

　　2．实际问题中有关术语、名称．

　　（1）仰角和俯角：在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角；在水平视线下方的角叫俯角

　　（2）方位角：指正北方向顺时针转到目标方向线水平角．

　　解读：

　　三、典型例题分析

　　例1．已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A向北偏东 方向，B向西偏北 方向，若A的航行速度为25 nmi/h，B的速度是A的 ，过三小时后，A、B的距离是 ．

　　解：90.8 nmi

　　变式训练 货轮在海上以40km/h的速度由B到C航行，航向为方位角 ，A处有灯塔，其方位角 ，在C处观测灯塔A的方位角 ，由B到C需航行半小时，则C到灯塔A的距离是 答案：20km

　　小结与拓展：

　　例2．有一长为100米的斜坡，它的倾斜角为 ，现在要将坡底伸长 米，求改建后的倾斜角为多少度？

　　答案：30°

　　变式训练：在200米高的顶上，测得下一塔顶与塔底的俯角分别是 ， ，则塔高为______________

　　答案：

　　小结与拓展：

　　四、归纳与（以学生为主，师生共同完成）

　　1.知识：

　　2.思想与方法：

　　3.易错点：

　　4.教学反思：

　　函数与方程及函数的实际应用

　　1．函数与方程

　　（1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。

　　（2）根据 具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解。

　　2．函数模型及其应用

　　（1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。

　　（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。

　　【核心要点突破】

　　要点考向一：函数零点问题

　　考情聚焦：1.函数的零点是新课标的新增内容,其实质是相应方程的根,而方程是高考重点考查内容, 因而函数的零点亦成为新课标高考命题的热点.

　　2.常与函数的图象、性质等知识交汇命题，多以选择、填空题的形式考查。

　　考向链接：1.函数零点（方程的根）的确定问题，常见的类型有

　　（1）零点或零点存在区间的确定；

　　（2）零点个数的确定；

　　（3）两函数图象交战的横坐标或有几个交点的确定；解决这类问题的常用方法有：解方 程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解。

　　2．函数零点（方程的根）的应用问题，即已知函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，解决该类问题关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解。

　　例1：（2010?福建高考文科?Ｔ7）函数 的零点个数为（ ）

　　A.2 B.3 C.4 D.5

　　【命题立意】本题从分段函数的角度出发，考查了学生对基本初等函数的掌握程度。

　　【思路点拨】作出分段函数的图像，利用数形结合解题。

　　【规范解答】选C， ，绘制出图像大致如右图，所以零点个数为2。

　　【方法技巧】本题也可以采用分类讨论的方法进行求解。

　　令 ，则

　　（1）当 时， ， 或 （舍去）；

　　（2）当 时， ，

　　综上述：函数 有两个零点。

　　要点考向二：用二分法求函数零点近似值

　　考情聚焦：1.该考向虽然在近几年新课标高考中从未涉及,但由于二分法是求方程根的近似值的重要方法,其又是新课标新增内容,预计在今后的新课标高考中可能会成为新的亮点.

　　2.该类问题常与函数的图象、性质交汇命题，考查学生的探究和计算能力。

　　考向链接：用二分法求函数零点近似值的步骤

　　（1）确定区间[a,b]，验证f(a)?f(b)<0,给定精确度 ；（2）求区间(a,b)的中点 ；（3）计算f( );

　　①当f( )=0,则 就是函数的零点；

　　②若f(a)?f( )<0,则令b= (此时零点 )，

　　③若f( )?f(b)<0,则令a= (此时零点 )。

　　(4)判断是否达到其精确度 ，则得零点近似值，否则重复以上步骤。

　　例2：已知函数

　　（1）求证函数 在区间[0，1]上存在惟一的极值点。

　　（2）用二分尖求函数取得极值时相应 的近似值。（误差不超过0.2;参数数据 ）

　　【思路解析】求导数→ → 在[0,1]上单调→得出结论→取初始区间→用二分法逐次计算→得到符合误差的近似值.

　　【解答】

　　（2）取区间 [0，1]作为起始区间，用二分法逐次计算如下：

　　区间中点坐标中点对应导数值取值区间

　　[0，1]1

　　[0，0.5]0.5

　　[0.25,0.5]0.25

　　由上表可知区间[0.25,0.5]的长度为0.25,所以该区间的中点 ,到区间端点距离小于0.2,因此可作为误差不超过0.2的一个极值点的相应 的值.

　　函数 取得极值时,相应

　　要点考向二：函数的实际应用

　　考情聚焦：1.函数的实际应用历年来一直是高考的热点，考查现实生活中的热点问题，如生产经营，环境保护，工程建设等相关的增长率、最优化问题。

　　2．常用导数、基本不等式、函数的单调性等重要知识求解。

　　例3：（2010?湖北高考理科?Ｔ17）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶 和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度 （单位：cm）满足关系： ，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

　　（Ⅰ）求 的值及 的表达式；

　　（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用 达到最小，并求最小值．

　　【命题立意】本题主要考查由实际问题求函数解析式、利用导数求函数最值，考查考生的阅读理解及运算求解能力．

　　【思路点拨】 的表达式 的最小值

　　【规范解答】（Ⅰ）设隔热层厚度 cm，由题意建筑物每年的能源消耗费用为 ，再由 得 ，故 ；又 厘米厚的隔热层建造费用为 ，所以由题意 = + = + 。

　　（Ⅱ） ，令 0

　　得 （舍去），当 时， ，当 时， ，故 时 取得最小值，且最小值 = =70

　　.因此当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小，且最小值为70万元。

　　【方法技巧】解 函数应用题的第一关是：正确理解题意，将实际问题的要求转化为数学语言，找出函数关系式，注明函数定义域；第二关是：针对列出的函数解析式按题目要求，选择正确的数学思想将其作为一个纯数学问题进行解答。

　　【高考真题探究】

　　1．（2010上海文数）17.若 是方程式 的解，则 属于区间 [答]（ ）

　　（A）（0，1）. （B）（1，1.25）. （C）（1.25，1.75） （D）（1.75，2）

　　解析：

　　知 属于区间（1.75，2）

　　2．（2010天津理数）（2）函数f(x)= 的零点所在的一个区间是

　　(A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2）

　　【答案】B

　　【解析】本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。

　　由 及零点定理知f(x)的零点在区间（-1，0）上。

　　【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解。

　　3．（2010福建文数）21．(本小题满分12分)

　　某港口 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口 北偏西30°且与该港口相距20海里的 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过 小时与轮船相遇。

　　(Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

　　(Ⅱ)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；

　　(Ⅲ)是否存在 ，使得小艇以 海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定 的取值范围；若不存在，请说明理由。

　　21.本小题主要考查解三角形、二次函数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力、应用意识，考查函数函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。

　　解法一：

　　设相遇时小艇的航行距离为S海里，则

　　于是

　　小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程 应有两个不等正根，即：

　　解法二：

　　（I）若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向。设小艇与轮船在C处相遇。

　　则在Rt?OAC中，OC=20cos300=10- ,AC=30t,OC=vt.此时，轮船航行时间t= , 。即，小艇以30 海里/小时的速度航行时，相遇时小船的航行距离最小。

　　【跟踪模拟训练】

　　一、选择题（每小题6分，共36分）

　　1. 若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：

　　那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根（精确度0.1)为( )

　　(A)1.25(B)1.375(C)1.437 5 (D)1.5

　　2．对于函数f(x)=x2+mx+n,若f(a)>0,f(b)>0,则函数f(x)在区间（a,b)内( )

　　(A)一定有零点

　　(B)一定没有零点

　　(C)可能有两个零点

　　(D)至多有一个零点

　　3．如图，A、B、C、D是某煤矿的四个采煤点，l为公路，图中所示线段为道路，ABQP，BCRQ，CDSR近似于正方形，已知A，B，C，D四个采煤点每天的采煤量之比约为3∶2∶1∶5,运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比.现要从P，Q，R，S中选出一处设立一个运煤中转站，使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少，则地点应选在( )

　　(A)P(B)Q(C)R(D)S

　　4． 已知函数

　　若方程f(x)=x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是( )

　　(A)（-∞，0］ (B)(-∞,1)

　　(C)［0,1］ (D)［0,+∞)

　　5．若x1满足2x+2x=5,x2满足2x+2log2(x-1)=5,则x1+x2=( )

　　（A） （B）3 （C） （D）4

　　6．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙（如图所示）.那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是( )

　　(A)在t1时刻，甲车在乙车前面

　　(B)t1时刻后，甲车在乙车后面

　　(C)在t0时刻，两车的位置相同

　　(D)t0时刻后，乙车在甲车前面

　　二、填空题(每小题6分，共18分)

　　7.为缓解南方部分地区电力用煤紧张的局面，某运输公司提出五种运输方案，据预测，这五种方案均能在规定时间T完成预期的运输任务Q0，各种方案的运煤总量Q与时间t的函数关系如下图所示.在这五种方案中，运煤效率（单位时间的运煤量）逐步提高的是_________.（填写所有正确的图象的编号）

　　8.在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为______.

　　9.关于x的方程cos2x-sinx+a=0在(0, ］上有解，则a的取值范围为_____.

　　三、解答题(10、11题每题15分，12题16分，共46分)

　　10.已知函数f(x)=4x+m?2x+1有且只有一个零点，求实数m的取值范围，并求出零点.

　　11.某电脑生产企业生产一品牌笔记本电脑的投入成本是4 500元/台.当笔记本电脑销售价为6 000元/台时，月销售量为a台;根据市场分析的结果表明，如果笔记本电脑的销售价提高的百分率为x(0<x<1)，那么月销售量减少的百分率为x2.记销售价提高的百分率为x时，电脑企业的月利润是y(元).

　　（1）写出月利润y(元)与x的函数关系式；

　　（2）试确定笔记本电脑的销售价，使得电脑企业的月利润最大.

　　12.已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0,5),且f(x)在区间［-1,4］上的最大值是12.

　　（1）求f(x)的解析式；

　　（2）是否存在自然数m，使得方程f(x)+ =0在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.

　　参考答案

　　1．【解析】选C.根据题意知函数的零点在

　　1.406 25至1.437 5之间，

　　因为此时1.437 5-1.406 25=0.031 25<0.1，故方程的一个近似根可以是1.437 5.

　　2．【解析】选C.由于f(a)>0,f(b)>0，且抛物线开口向上，所以可能有两个零点.

　　3．【解析】选C.设正方形边长为a，采煤量比例系数为x，费用比例系数为k,对于A，中转站选在P点时，费用y1=3kxa+4kxa+3kxa

　　+20kxa=30kxa;对于B，中转站选在Q点时，费用y2=6kxa+2kxa+

　　2kxa+15kxa=25kxa;对于C，中转站选在R点时，费用y3=9kxa+

　　4kxa+kxa+10kxa=24kxa;对于D，中转站选在S点时，费用

　　y4=12kxa+6kxa+2kxa+5kxa=25kxa.而24kxa<25kxa< 30kxa，故选C.

　　4．【解析】选B.在同一坐标系内画出函数y=f(x)和y=x+a的图象.由图可知a<1.

　　5．【解析】选C.∵2x+2x=5?2x=5-2x,

　　2x+2log2(x-1)=5?2log2(x-1)=5-2x.

　　∴可抽象出三个函数y=2x,y=2log2(x-1),y=5-2x, 在同一坐标系中分别作出它们的图象（如图所示）.

　　观察知：

　　6．【解析】选A.由图象可知，速度图象与t轴围成的面积表示汽车行驶的位移，在t0时刻，甲车的位移大于乙车的位移，故在t0时刻甲车应在乙车的前面，且t0时刻两车速度相同，故C、D不对，t1时刻甲车的位移大于乙车的位移，故A对.

　　7．【解析】由于要求运煤效率逐步提高，因此反映到图象上各点处的切线的斜率即导数应逐渐增大，而只有②符合.

　　答案：②

　　8．【解析】令f(x)=x3-2x-1,

　　显然f(1)＜0,f(2)＞0,

　　又

　　答案：( ,2)

　　9．【解析】原方程可化为a=sin2x+sinx-1，方程有解当且仅当a属

　　于函数y=sin2x+sinx-1的值域时，而y=sin2x+sinx-1=(sinx+ )2- ,∵x∈(0, ]，∴sinx∈(0,1］.可求得值域为(-1,1］,即a的取值范围是(-1,1］.

　　答案：(-1,1］

　　10．【解析】由题 知：方程4x+m?2x+1=0只有一个零点.

　　令2x=t(t>0),

　　∴方程t2+m?t+1=0只有一个正根，

　　∴由图象可知，

　　当m=-2时t=1,∴x=0.

　　∴函数的零点为x=0.

　　11．【解析】（1）依题意，销售价提高后为6 000(1+x)元/台，月销售量为a(1-x2)台，

　　则y=a(1-x2)［6 000(1+x)-4 500］

　　即y=1 500a(-4x3-x2+4x+1)(0<x<1).

　　（2)y′= 1500a(-12x2-2x+4)，

　　令y′=0,得6x2+x-2=0,

　　解得，x=1/2,x=-2/3(舍去).

　　当0<x<1>0;当1/2＜x＜1时，y’＜0.

　　答案：(1,+∞)

　　6.设 为实数，已知函数

　　（1）当 =1时，求函数 的极值。

　　（2）若方程 =0有三个不等实数根，求 的取值范围。

　　（2）因为f′(x)=x2-2ax+(a2-1)=［x-(a-1)］［x-(a+1)］,所以方程f′(x)=0的两根为a-1和a+1，

　　显然，函数f(x)在x=a-1处取得极大值，在x=a+1处取得极小值.因为方程f(x)=0有三个不等实根，

　　解得-2故a的取值范围是(-2,-1)∪(-1,1)∪(1,2).

　　7.设函数f(x)在(-∞,+∞)上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间［0,7］上，只有f(1)=f(3)=0.

　　(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性；

　　(2)试求方程f(x)=0在闭区间［-2 009, 2 009］上的根的 个数，并证明你的结论.

　　【解析】(1)由已知得f(0)≠0，故f(x)不是奇函数，

　　又f(-1)=f(5)≠0,故y轴不是函数y=f(x)的对称轴，即f(x)不是偶函数.

　　综上知，函数y=f(x)既不是奇 函数又不是偶函数.

　　又f(3)=f(1)=0,

　　∴f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0.

　　故f(x)在［0,10］和［-10,0］上均有2个根，从而可知函数y=f(x)在［0,2 000］上有400个根，在［2 000,2 009］上有2个根，在［-2 000,0］上有400个根，在［-2 009,-2 000］上有2个根.

　　所以函数y=f(x)在［-2 009,2 009］上有804个根.

　　2016届高考数学备考复习坐标系与参数方程教案

　　第一讲 坐标系与参数方程

　　1．（2010湖南理 数）3、极坐标方程 和参数方程 （ 为参数）所表示的 图形分别是

　　A、圆、直线 B、直线、圆

　　C、圆、圆 D、直线、直线

　　2．（2010安徽理数）7、设曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的方程为 ，则曲线 上到直线 距离为 的点的个数为

　　A、1B、2C、3D、4

　　7.B

　　【解析】化曲线 的参数方程为普通方程： ，圆心 到直线 的距离 ，直线和圆相交，过圆心和 平行的直线和圆的2个交点符合要求，又 ，在直线 的另外一侧没有圆上的点符合要求，所以选B.

　　【方法总结】解决这类问题首先把曲线 的参数方程为普通方程，然后利用圆心 到直线的距离判断直线与圆的位置关系，这就是曲线 上到直线 距离为 ，然后再判断知 ，进而得出结论.

　　3．（坐标系与参数方程选做题）参数方程 （ 为参数）化成普通方程为

　　x2＋（y－1）2＝1.

　　解析：

　　4．（2010广东文数）15.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标 系 中，曲线 与 的交点的极坐标为 .

　　5．（2010辽宁理数）（ 23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

　　已知P为半圆C： （ 为参数， ）上的点，点A的坐标为（1,0），

　　O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧 的长度均为 。

　　（I）以O为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；

　　（II）求直线AM的参数方程。

　　解：

　　（Ⅰ）由已知，M点的极角为 ，且M点的极径等于 ，

　　故点M的极坐标为（ ， ）. ……5分

　　（Ⅱ）M点的直角坐标为（ ），A（0,1），故直线AM的参数方程为

　　（t为参数） ……10分

　　6．已知曲线C ： （t为参数）， C ： （ 为参数）。

　　（1）化C ，C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

　　（2）若C 上的点P对应的参数为 ，Q为C 上的动点，求 中点 到直线

　　（t为参数）距离的最 小值

　　解析：

　　为圆心是 ，半径是1的圆。

　　为中心是 坐标原点，焦点在 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆。

　　（Ⅱ）当 时， ，故

　　为直线 ，

　　M到 的距离

　　从而当 时， 取得最 小 值

　　7．已知点 是圆 上的动点，

　　（1）求 的取值范围；

　　（2）若 恒成立，求实数 的取值范围。

　　解析：（1）设圆的参数方程为 ，

　　（2）

　　8．在平面直角坐标系中，动点P的坐标（x,y）满足方程组：

　　（1） 若k为参数， 为常数（ ），求P点轨迹的焦点坐标。

　　（2） 若 为参数，k为非零常数，则P点轨迹上任意两点间的距离是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由。

　　解析：（1）

　　得：

　　（2）

　　9．已知曲线C的参数方程为 （ 为参数， ）.

　　求曲线C的普通方程。

　　解析：本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。

　　解：因 为 所以

　　故曲线C的普通方程为： .

　　10．在曲线 ： ,在曲线 求一点，使它到直线 ： 的距离最小，并求出该点坐标和最小距离.

　　解析：直线 化成普通方程是 ………………………………2分

　　设所求的点为 ,则C到直线 的距离

　　…………………… …………………………………4分

　　= …………………………………………………………………………6分

　　当 时，即 时， 取最小值1 ………………………………8分

　　此时，点 的坐标是 …………………………………………………10分

　　11．在极坐标系中，从极点O作直线与另一直线l:ρcosθ=4相交于点M，在OM上取一点P，使OM?OP=12．

　　（1） 求点P的轨迹方程；

　　（2）设R为l上任意一点，试求RP的最小值．

　　解析：（1）设动点P的极坐标为 ，则点M为 ．

　　于是ρ=3cosθ(ρ＞0)为所求的点P的轨迹方程．

　　（2）由于点P的轨迹方程为

　　所以点P的轨迹是圆心为 ，半径为 的圆．又直线l:ρcosθ=4过点(4,0)且垂直于极轴，点R在直线l上，由此可知RP的最小值为了．

　　12.水库排放的水流从溢流坝下泄时，通常采用挑流的方法减弱水流的冲击作用，以保护水坝的坝基.下图是运用鼻坝进行挑流的示意图.已知水库的水位与鼻坝的落差为9米，鼻坝的鼻坎角为30°，鼻坝下游的基底比鼻坝低18米.求挑出水流的轨迹方程，并计算挑出的水流与坝基的水平距离.

　　解析：建立如图所示的直角坐标系．设轨迹上任意一点为P（x,y）．

　　由机械能守恒定律，得

　　鼻坝出口处的水流速度为

　　取时间t为参数，则有

　　所以挑出水流的轨迹的参数方程为

　　消去参数t，得

　　所以挑出的水流与坝基的水平距离为

　　故挑出水流的轨迹方程为

　　2016高考数学集合与简易逻辑专题教案(学生版)

　　2012高考精品系列之数学专题一 集合与简易逻辑

　　【考点定位】2011考纲解读和近几年考点分布

　　2011考纲解读1．集合

　　（1）集合的含义与表示 ① 了解集合的含义、元素与集合的属于关系. ② 能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题.

　　（2）集合间的基本关系 ① 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. ② 在具体情境中，了解全集与空集的含义.

　　（3）集合的基本运算 ① 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集. ② 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.③ 能使用韦恩（Venn）图表达集合的关系及运算.

　　2．常用逻辑用语

　　（1）命题及其关系 ① 理解命题的概念. ②了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系. ③ 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.

　　（2）简单的逻辑联结词 了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.

　　（3）全称量词与存在量词 ① 理解全称量词与存在量词的意义. ② 能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

　　近几年考点分布 纵观近几年的高考情况，可以看出本专题高考考查的特点及规律；一般都是基础题，难度不大，综合题目少，大多出现在选择题及填空题的前三分之一位置，但也有少数年份出现在选择题的后两题。一是考查对集合概念的认识和理解，如集合与元素，集合与集合之间的关系及运算；二是以集合知识为依托考查其他知识，如不等式、解析几何等，在考查其他知识的同时，突出考查准确使用数学语言和能力和运用数形结合的思想解决问题的能力，定义新运算在集合方面是一个新型的集合问题，应予以重视。对简易逻辑的考查主要集中在命题的四种形式和充要条件的判定上，在考查知识的同时，还主要考查命题转化、逻辑推理和分析问题的能力。

　　【考点pk】名师考点透析

　　考点一 集合的概念与运算

　　1、集合问题的核心

　　一是集合元素的互异性；二是集合的交、并、补运算。空集 是一个特殊的集合，在题设中若未指明某一集合为非空集合时，要考虑该集合为空集的情形，因此，空集是“分类讨论思想”的一个“命题点”。

　　2、解答集合问题的一般程序

　　首先认清集合中元素的属性，然后依据元素的不同属性采用不同的方法求解。一般规律表现为“若给定的集合是不等式的解集，用数轴求解；若给定的集合是点集，用数形结合法求解；若给定的集合是抽象集合，用图示法解之”。

　　3、运用“转化与化归思想”

　　解答集合问题，要把握好符号语言、文字语言和图形语言三者间的相互转化，这是“转化与化归思想”的具体体现，通过转化，可以揭开集合的“面纱”，洞察问题的“真面目”。

　　4、集合运算的两个重要性质

　　性质一：A B=A A B；A B=A A B。

　　性质二：［u（A B）=（［u A） （［u B）；［u（A B）=（［u A） （［u B）；

　　两个性质的作用在于化难为易，化生为熟，化繁为简。

　　例1、设向量集合M= N= 则M N=

　　A、 B、 C、 D、

　　【名师点睛】：本题以集合为载体考查向量、直线等知识，解答过程体现了消参数的方法（如消去 得直线方程 ），数学的转化思想（如①向量与坐标的转化；②直线的交点坐标与方程组解的转化）。

　　【备考提示】：解答集合问题，必须弄清题目的要求，正确理解各个集合的含义，再对集合进行简化，借助数轴或韦恩图进而使问题得到解决

　　1、若A= ，则这样的 的不同取值有

　　A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

　　例2、设集合 ， ，若A B=B，求实数 的取值范围。

　　【名师点睛】： 解答集合问题，必须弄清题目的要求，正确理解各个集合的含义，再对集合进行简化，进而借助数轴或韦恩图使问题得到解决。

　　【备考提示】：集合之间的运算，解答过程中注意对参数的分类讨论，关键是找到分类的标准。

　　2、已知集合M= ，N= ，若A N=R，求 的值。

　　考点二 四种命题

　　四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系（尤其是两种等价关系）的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为：

　　（1）交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题；

　　（2）同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题；

　　（3）交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题。

　　例3、有下列四个命题（1）若“ =1，则 ， 互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若 ，则 有实数解”的逆否命题；（4）“若A B=B，则 ”的逆否命题。其中真命题为 （ ）

　　A、（1）（2） B、（2）（3） C、（4） D、（1）（3）

　　【名师点睛】： 由原命题组成其他三种命题的方法是：先把原命题写成“若……，则……”的形式，然后交换命题的条件与结论便得到了逆命题；同时否定命题的条件与结论便得到了否命题；同时否定命题的条件与结论，并且交换条件与结论便得到了逆否命题，注意：在写其他三种命题时，大前提必须放在前面。

　　【备考提示】：判断四种命题真假的常用途径有：一是先分别写出四种 命题，再分别判断每个命题的真假；二是利用互为逆否命题是等价命题这一关系来判断它的逆否命题的真假，这种方法有时能简化解题过程。

　　3、给出如下三个命题：①四个非零实数 、 、 、 依次成等比数列的充要条件是 = ；②设 ， 且 若 ，则 ③若 .其中不正确命题的序号是

　　A、①② B、②③ C、①③ D、①②③

　　考点三 充要条件

　　1、用集合方法判断充要条件

　　设集合 则有

　　从逻辑观点看从集合观点看

　　是 的充分不必要条件

　　A B

　　是 的必要不充分条件

　　B A

　　是 的充要条件（ ）

　　A=B

　　是 的既不充分也不必要条件

　　A与B 互不包含

　　2、充要条件的探求与证明

　　对于充要条件的证明问题，可用直接证法，即分别证明充分性与必要性。此时应注意分清楚哪是条件，哪是结论，充分性即由条件证明结论；而必要性则是由结论成立来证明条件也成立，千万不要张冠李戴 ；也可用等价法，即进行等价转化，此时应注意的是所得出的必须是前后能互相推出，而不仅仅是“推出”一方面（即由前者可推出后者，但后者不能推出前者）。

　　例4设

　　A、充分不必要条件 B、必要不充分条件C、充要条件 D 、既不充分也不必要条件

　　【名师点睛】： 对于充分条件与必要条件的判断，有如下结论：

　　若 ，则 是 的充分而不必要条件；若 ，则 是 的必要而不充分条件；若 ，则 是 的充要条件； 若 ，则 是 的既不充分也不必要条件。

　　【备考提示】：对于充要条件的探求问题，可用等价法，也可先寻求其必要条件，再证明它也是充分条件。

　　4、设 关于 的方程 有实根，则 是 的（ ）

　　A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分又不必要条件

　　【三年高考】09、10、11 高考试题及其解析

　　11年高考试题及解析

　　1、（江苏1）、已知集合 则

　　2、（福建文、理1）．已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∩N＝

　　A. {0，1} B. {－1，0，1} C. {0，1，2} D. {－1，0，1，2}

　　3、（浙江文1）若 ，则

　　（A） （B） （C） （D）

　　4、(四川文1).若全集M= ，N= ， =（ ）

　　（A） (B) (C) (D)

　　5、（全国新课标文科1）已知集合 , ,则集合P的子集有

　　A 2个 B 4个 C 6个 D 8个

　　6、（全国1文1 ）设集合U= , 则

　　（A） （B） （C） （D）

　　7、（湖北文1）．已知 则

　　A． B． C． D．

　　8、（天津文9）已知集合 为整数集,则集合 中所有元素的和等于 .

　　9、（湖南文1）设全集 则 （ ）

　　A． B． Ｃ． Ｄ．

　　10、（山东文、理1.）设集合 ， ，则 （ ）

　　A． B. C. D.

　　11、（辽宁文1）已知集合A={x }，B={x }}，则A B=（ ）

　　（A） {x }} （B）{x } （C）{x }} （D）{x }

　　12、（安徽文2）集合 ， , ,则 等于

　　（A） (B) (C) (D)

　　13、（重庆文2）．设 ，则 =

　　A ．[0，2]B． C． D．

　　14、（上海文1）、若全集 ，集合 ，则

　　15、（上海理2）、若全集 ，集合 ，则

　　16、（北京文1）．已知全集U=R，集合 ，那么

　　(A)( ) (B)( ) (C)（-1，1) (D)

　　17、（湖北理2）．已知 ，则 =

　　A. B. C. D.

　　18、（江西文2）.若全集 ,则集合 等于（ ）

　　A. B. C. D.

　　19、（江西理2）.若2集合 ， 则 =

　　A. B. C. D.

　　20、（安徽理8）设集合 则满足 且 的集合 为

　　（A）57 （B）56 （C）49 （D）8

　　21、（辽宁理2）已知M,N为集合I的非空真子集，且M,N不相等，若 （ ）

　　(A)M (B) N (C)I (D)

　　22、(陕西文8.)设集合 ， ， 为虚数单位， R ，则 为（ ）

　　(A)(0,1) (B)(0,1] (C)[0,1) (D)[0,1]

　　23、(陕西理7)设集合 ， ， 为虚数单位， R ，则 为（ ）

　　（A）（0，1） （B） ， （C） ， （D） ，

　　24、(北京理1).已知集合 ， ，若 ，则 的取值范围是

　　A. B. C. D.

　　25、(天津理13)．已知集合 ，则集合 =

　　26、（山东文5.）已知a，b，c∈R，命题“若 =3，则 ≥3”，的否命题是

　　(A)若a+b+c≠3，则 (B)若a+b+c=3，则

　　(C)若a+b+c≠3，则 ≥3 (D)若 ≥3，则a+b+c=3

　　27、（安徽理7）命题“所有能被2整除的数都是偶数”的 否定是

　　（A）所有不能被2整除的数都是偶数（B）所有能被2整除的数都不是偶数

　　（C）存在一个不能被2整除的数是偶数（D）存在一个能被2整除的数不是偶数

　　28、(陕西文、理1．)设 ， 是向量，命题“若 ，则 ”的逆命题是 （ ）

　　（A）若 ，则 （B）若 ，则

　　（C）若 ，则 （D）若 ，则

　　【分析】首先确定原命题的条件和结论，然后交换条件和结论的位置即可得到逆命题。

　　29、（北京文4）．若p是真命题，q是假命题，则 A．p∧q是真命题 B．p∨q是假命题 C．?p是真命题 D．?q是真命题

　　30、（辽宁文4）已知命题P： n∈N，2n＞1000，则 p为（ ）

　　（A） n∈N，2n≤1000（B） n∈N，2n＞1000 （C） n∈N，2n≤1000 （D） n∈N，2n＜1000

　　31、(四川文5).“x=3”是“x2=9”的

　　（A）充分而不必要的条件 （B）必要而不充分的条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要的条件

　　32、（福建文、理3）．若a∈R，则“a＝1”是“a＝1”的

　　A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

　　33、（重庆理2） “ ”是“ ”的

　　（A）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件

　　34、（天津文4）设集合 则

　　“ ”是“ ”的

　　A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

　　35、（天津理2）.设 则“ 且 ”是“ ”的

　　A. 充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件

　　36、（湖南文３）． 的

　　A．充分不必要条件 Ｂ．必要不 充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

　　37、（湖南理2）.设集合M={1,2}，N={a2},则“a=1”是“N M”的

　　A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件

　　38、（山东理5.）对于函数 ,“ 的图象关于 轴对称”是“ = 是奇函数”的

　　（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要

　　39、（浙江文6）若 为实数，则“ ”是“ ”的

　　(A)充分而不必要条件 (B)必要而不 充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

　　40、（天津理2）．设 则“ 且 ”是“ ”的

　　A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件

　　41、（浙江理7）若 为实数，则“ ”是 的

　　（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

　　42、(陕西文14．理12)．设 ，一元二次方程 有整数根的充要条件是 ．

　　【分析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算．

　　43、(四川理5)、函数 在点 处有定义是 在点 处连续的

　　(A)充分而不必要的条件 (B)必要而不充分的条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要的条件

　　44、（湖北文10理9）. 若实数 满足 ，且 ，则称 与 互补，记 那么 是 与b互补的

　　A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

　　45、(广东文、理2) ．已知集合A={ (x，y)x，y为实数，且 }，B={(x，y) x，y为实数，且y=x}， 则A ∩ B的元素个数为

　　A．0 B． 1 C．2 D．3

　　46、（浙江理10）设a，b，c为实数， = .记集合S= 若 ， 分别为集合元素S，T的元素个数，则下列结论不可能的是

　　（A） =1且 =0 （B） （C） =2且 =2 （D） =2且 =3

　　2010年高考试题及解析

　　1．（2010年高考山东卷理科1）已知全集U=R，集合M={xx-1 2},则

　　（A）{x-1<x<3} (B){x-1 x 3} (C){xx<-1或x>3} (D){xx -1或x 3}

　　2．(2010 年高考湖北卷理科2)设集合A= ，B= ,则A∩B的子集的 个数是

　　A. 4 B.3 C.2 D.1

　　3．（2010年高考安徽卷理科2）若集合 ，则

　　A、 B、 C、 D、

　　4. (2010年高考天津卷理科9)设 集合A＝ ，B＝ 。若 ,则实数 必满足

　　（A） （B） （C） （D）

　　5. (2010年高考湖南卷理科1)已知集合 ， ，则

　　A． B． C． D．

　　6．（2010年高考广东卷理科1）若集合A={ -2＜ ＜1}，B={ 0＜ ＜2}则集合A ∩ B=（ ）

　　A. { -1＜ ＜1} B. { -2＜ ＜1} C. { -2＜ ＜2} D. { 0＜ ＜1}

　　7.(2010年全国高考宁夏卷1）已知集合 }, ,则

　　(A)(0,2) (B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2}

　　8．（2010年高考陕西卷理科1）集合A= {x? }，B ={x?x<1}，则 =

　　（A）{x?x>1} (B) {x?x≥ 1} (C) {x? } (D) {x? }

　　9．（2010年高考北京卷理科1）集合 ，则 =

　　(A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){x0≤x<3} (D) {x0≤x≤3}

　　10．（2010年高考江西卷理科2）若集合 ， ，则

　　A． B． C． D．

　　11．（2010年高考浙江卷1）设P=｛x?x<4｝,Q=｛x? <4｝，则

　　（A） （B） （C） （D）

　　12．（2010年高考浙江卷10）设函数的集合

　　平面上点的集合 则在同一直角坐标系中， 中函数 的图像恰好经过Q中两个点的函数的个数是

　　(A)4 （B） 6 (C)8 (D)10

　　13．（2010年高考辽宁卷理科1）已知A，B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A∩B={3},( B∩A={9},则A=

　　（A）{1,3} (B){3,7,9} (C){ 3,5,9} (D){3,9}

　　14．(2010年高考天津卷理科3)命题“若 是奇函数，则 是奇 函数”的否命题是

　　（A）若 是偶函数，则 是偶函数

　　（B）若 是奇数，则 不是奇函数

　　（C）若 是奇函数，则 是奇函数

　　（D）若 是奇函数，则 不是奇函数

　　15.(2010年高考数学湖北卷理科10）记实数 ， ，…， 中的最大数为 ，最小数为 .已知 的三边长为 ，定义它的倾斜度为

　　则“ ”是“ 为等边三角形”]

　　A.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件

　　16. (2010年高考湖南卷理科2)下列命题中的假命题是

　　A． ， B． ，

　　C． ， D． ，

　　17．（2010年高考广东卷理科5）“ ”是“一元二次方程 ”有实数解的

　　A．充分非必要条件 B.充分必要条件[来源:学科网ZXXK]C．必要非充分条件 D.非充分必要条件

　　18．（2010年高考四川卷理科4）函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是

　　（A） （B） （C） （D）

　　19. (2010年全国高考宁夏卷5）已知命题 ：函数 在R为增函数， ：函数 在R为减函数，则在命题 ： ， ： ， ： 和 ： 中，真命题是

　　（A） ， （B） ， （C） ， （D） ，

　　20．（2010年高考陕西卷理科9）对于数列｛a n｝，“a n+1＞?a n?（n=1，2…）”是“｛a n｝为递增数列”的（ ）

　　( A) 必要不充分条件 (B) 充分不必要条件[ (C) 必要条件 (D) 既不充分也不必要 条件

　　21． （2010年高考浙江卷4）

　　（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

　　（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

　　22．（2010年高考辽宁卷理科11）已知a>0，则x0满足关于x的方程ax=6的充要条件是

　　(A) (B)

　　2016届高考数学第一轮导学案复习 函数的单调性、极值与最值

　　高三数学理科复习43——函数的单调性、极值与最值

　　【高考要求】求函数的单调区间、函数在开区间上的极值、闭区间上的最值（B）

　　【知识复习与自学质疑】

　　1、函数 的极大值是 .

　　2、函数 在区间[0， ]上的最小值是 .

　　3、函数 ,x [-2,0]的值域为 .

　　4、函数 , 在区间 上是增函数；

　　在区间 上是减函数.

　　5、已知函数 ，则当函数x= 时， 有极大值；当x= 时， 有极小值.

　　6、函数 在 上是增函数，则实数 的取值范围是

　　【例题精讲】

　　1、求下列函数的单调区间：

　　（1） ； （2） ;

　　2、求函数 的极值.

　　3、求函数 在区间[0， ]上的最大值.

　　4、已知函数 在x=1处取得极值-3-c，若对任意x>0，不等式 恒成立，求c的取值范围.

　　【矫正反馈】

　　1、函数 的单调性为 .

　　2、若函数 在（-∞,-1），（1,+∞）上是减函数，在（-1，1）上是增函数，则 的极小值、极大值分别是 、 .

　　3、函数 的单调增区间是 ，单调减区间是 .

　　4、函数 的极小值是 .

　　5、函数 在区间 的最大值是 .

　　6、已知函数 在点 处的切线方程为x+2y+5=0，求 在区间[6，7]上的最大值与最小值.

　　【迁移应用】

　　1、已知函数 ，则当 时，y有极大值 ，当x= 时，y有极小值 .

　　2、已知函数 在（-1，1）上是减函数，则a的取值范围是 .

　　3、函数 的单调增区间是___________________________.

　　4、已知函数 在区间（0，1）上有极值，求a的取值范围.

　　5、已知k>0,函数

　　(1)若对任意 都有 ，求k的取值范围；

　　(2)若存在 ,使得 ，求k的取值范围.

　　2016届高考数学第二轮考点解析几何问题的题型与方法专题复习教案

　　第17－20课时： 解析几何问题的题型与方法

　　一．复习目标：

　　1.能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了.

　　2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题.

　　3．理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法.

　　4．掌握圆的标准方程： （r＞0），明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程： ，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解圆的参数方程 （θ为参数），明确各字母的意义，掌握直线与圆的位置关系的判定方法.

　　5．正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握a、b、c、p、e之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法.

　　二．考试要求：

　　(一)直线和圆的方程

　　1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。

　　2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。

　　3．了解二元一次不等式表示平面区域。

　　4．了解线性规划的意义，并会简单的应用。

　　5．了解解析几何的基本思想，了解坐标法。

　　6．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程。

　　(二)圆锥曲线方程

　　1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质。

　　2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。

　　3．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。

　　4．了解圆锥曲线的初步应用。

　　三．过程：

　　（Ⅰ）基础知识详析

　　高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题)，共计30分左右，考查的知识点约为20个左右。 其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法，这一点值得强化。

　　(一)直线的方程

　　1.点斜式： ；2. 截距式： ；

　　3.两点式： ；4. 截距式： ；

　　5.一般式： ，其中A、B不同时为0.

　　(二)两条直线的位置关系

　　两条直线 ， 有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交.

　　设直线 ： = + ，直线 ： = + ，则

　　∥ 的充要条件是 = ，且 = ； ⊥ 的充要条件是 =-1.

　　(三)线性规划问题

　　1．线性规划问题涉及如下概念：

　　⑴存在一定的限制条件，这些约束条件如果由x、y的一次不等式（或方程）组成的不等式组来表示，称为线性约束条件.

　　⑵都有一个目标要求，就是要求依赖于x、y的某个函数（称为目标函数）达到最大值或最小值.特殊地，若此函数是x、y的一次解析式，就称为线性目标函数.

　　⑶求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题.

　　⑷满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解.

　　⑸所有可行解组成的集合，叫做可行域.

　　⑹使目标函数取得最大值或最小值的可行解，叫做这个问题的最优解.

　　2．线性规划问题有以下基本定理：

　　⑴ 一个线性规划问题，若有可行解，则可行域一定是一个凸多边形.

　　⑵ 凸多边形的顶点个数是有限的.

　　⑶ 对于不是求最优整数解的线性规划问题，最优解一定在凸多边形的顶点中找到.

　　3.线性规划问题一般用图解法.

　　(四)圆的有关问题

　　1.圆的标准方程

　　（r＞0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a，b），半径为r.

　　特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r时，圆的方程为 .

　　2.圆的一般方程

　　（ ＞0）称为圆的一般方程，

　　其圆心坐标为（ ， ），半径为 .

　　当 =0时，方程表示一个点（ ， ）；

　　当 ＜0时，方程不表示任何图形.

　　3.圆的参数方程

　　圆的普通方程与参数方程之间有如下关系：

　　（θ为参数）

　　（θ为参数）

　　(五)椭圆及其标准方程

　　1.椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点 、 的距离的和大于 这个条件不可忽视.若这个距离之和小于 ，则这样的点不存在；若距离之和等于 ，则动点的轨迹是线段 .

　　2.椭圆的标准方程： （ ＞ ＞0）， （ ＞ ＞0）.

　　3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果 项的分母大于 项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.

　　4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.

　　(六)椭圆的简单几何性质

　　1.椭圆的几何性质：设椭圆方程为 （ ＞ ＞0）.

　　⑴ 范围： -a≤x≤a，-b≤x≤b，所以椭圆位于直线x= 和y= 所围成的矩形里.

　　⑵ 对称性：分别关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.

　　⑶ 顶点：有四个 （-a，0）、 （a，0） （0，-b）、 （0，b）.

　　线段 、 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.

　　⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e＜1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆.

　　2.椭圆的第二定义

　　⑴ 定义：平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 （e＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.

　　⑵ 准线：根据椭圆的对称性， （ ＞ ＞0）的准线有两条，它们的方程为 .对于椭圆 （ ＞ ＞0）的准线方程，只要把x换成y就可以了，即 .

　　3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.

　　设 （-c，0）， （c，0）分别为椭圆 （ ＞ ＞0）的左、右两焦点，M（x，y）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为 ， .

　　椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.

　　椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有 = + 、 两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.

　　(七)椭圆的参数方程

　　椭圆 （ ＞ ＞0）的参数方程为 （θ为参数）.

　　说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角θ与直线OP的倾斜角α不同： ；

　　⑵ 椭圆的参数方程可以由方程 与三角恒等式 相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.

　　(八)双曲线及其标准方程

　　1.双曲线的定义：平面内与两个定点 、 的距离的差的绝对值等于常数2a（小于 ）的动点 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a＜ ，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a= ，则动点的轨迹是两条射线；若2a＞ ，则无轨迹.

　　若 ＜ 时，动点 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若 ＞ 时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.

　　2.双曲线的标准方程： 和 （a＞0，b＞0）.这里 ，其中 =2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.

　　3.双曲线的标准方程判别方法是：如果 项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果 项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.

　　4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.

　　(九)双曲线的简单几何性质

　　1.双曲线 的实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率 ＞1，离心率e越大，双曲线的开口越大.

　　2. 双曲线 的渐近线方程为 或表示为 .若已知双曲线的渐近线方程是 ，即 ，那么双曲线的方程具有以下形式：

　　，其中k是一个不为零的常数.

　　3.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线 ，它的焦点坐标是（-c，0）和（c，0），与它们对应的准线方程分别是 和 .

　　在双曲线中，a、b、c、e四个元素间有 与 的关系，与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个独立的条件.

　　(十)抛物线的标准方程和几何性质

　　1．抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F叫抛物线的焦点，这条定直线l叫抛物线的准线。

　　需强调的是，点F不在直线l上，否则轨迹是过点F且与l垂直的直线，而不是抛物线。

　　2．抛物线的方程有四种类型：

　　对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x轴或y轴的负方向。

　　3．抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px为例

　　（1）范围：x≥0；

　　（2）对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出；

　　（3）顶点：O（0，0），注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；

　　（4）离心率：e=1，由于e是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p决定的；

　　（5）准线方程 ；

　　（6）焦半径公式：抛物线上一点P（x1，y1），F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p＞0）：

　　（7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过抛物线y2=2px（p＞O）的焦点F的弦为AB，A（x1，y1），B（x2，y2），AB的倾斜角为α，则有①AB=x +x +p

　　以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求。

　　（8）直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x +bx+c=0，当a≠0时，两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；但如果a=0，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时，直线和抛物线相交，但只有一个公共点。

　　(十一)轨迹方程

　　⑴ 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

　　⑵ 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

　　那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形或轨迹）.

　　（十二）注意事项

　　1． ⑴ 直线的斜率是一个非常重要的概念，斜率k反映了直线相对于x轴的倾斜程度.当斜率k存在时，直线方程通常用点斜式或斜截式表示，当斜率不存在时，直线方程为x=a（a∈R）.因此，利用直线的点斜式或斜截式方程解题时，斜率k存在与否，要分别考虑.

　　⑵ 直线的截距式是两点式的特例，a、b分别是直线在x轴、y轴上的截距，因为a≠0，b≠0，所以当直线平行于x轴、平行于y轴或直线经过原点，不能用截距式求出它的方程，而应选择其它形式求解.

　　⑶求解直线方程的最后结果，如无特别强调，都应写成一般式.

　　⑷当直线 或 的斜率不存在时，可以通过画图容易判定两条直线是否平行与垂直

　　⑸在处理有关圆的问题，除了合理选择圆的方程，还要注意圆的对称性等几何性质的运用，这样可以简化计算.

　　2. ⑴用待定系数法求椭圆的标准方程时，要分清焦点在x轴上还是y轴上，还是两种都存在.

　　⑵注意椭圆定义、性质的运用，熟练地进行a、b、c、e间的互求，并能根据所给的方程画出椭圆.

　　⑶求双曲线的标准方程 应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.

　　⑷双曲线 的渐近线方程为 或表示为 .若已知双曲线的渐近线方程是 ，即 ，那么双曲线的方程具有以下形式：

　　，其中k是一个不为零的常数.

　　⑸双曲线的标准方程有两个 和 （a＞0，b＞0）.这里 ，其中 =2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.

　　⑹求抛物线的标准方程，要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再求抛物线的标准方程，要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再由条件确定参数p的值.同时，应明确抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中一个，就可以求出其他两个.

　　（Ⅱ）范例分析

　　例1、求与直线3x+4y+12=0平行，且与坐标轴构成的三角形面积是24的直线l的方程。

　　分析：满足两个条件才能确定一条直线。一般地，求直线方程有两个解法，即用其中一个条件列出含待定系数的方程，再用另一个条件求出此参数。

　　解法一：先用“平行”这个条件设出l 的方程为3x+4y+m=0①再用“面积”条件去求m，∵直线l交x轴于 ，交y轴于 由 ，得 ，代入①得所求直线的方程为：

　　解法二：先用面积这个条件列出l的方程，设l在x轴上截距离a，在y轴上截距b，则有 ，因为l的倾角为钝角，所以a、b同号，ab=ab，l的截距式为 ，即48x+a2y-48a=0②又该直线与3x+4y+2=0平行，∴ ，∴ 代入②得所求直线l 的方程为

　　说明：与直线Ax+By+C=0平行的直线可写成Ax+By+C1=0的形式；与Ax+By+C=0垂直的直线的方程可表示为Bx-Ay+C2=0的形式。

　　例2、若直线mx+y+2=0与线段AB有交点，其中A(-2, 3)，B(3,2)，求实数m的取值范围。

　　解：直线mx+y+2=0过一定点C(0, -2)，直线mx+y+2=0实际上表示的是过定点(0, -2)的直线系，因为直线与线段AB有交点，则直线只能落在∠ABC的内部，设BC、CA这两条直线的斜率分别为k1、k2，则由斜率的定义可知，直线mx+y+2=0的斜率k应满足k≥k1或k≤k2， ∵A(-2, 3) B(3, 2)

　　∴-m≥ 或-m≤ 即m≤ 或m≥

　　说明：此例是典型的运用数形结合的思想来解题的问题，这里要清楚直线mx+y+2=0的斜率-m应为倾角的正切，而当倾角在(0°,90°)或(90°,180°)内，角的正切函数都是单调递增的，因此当直线在∠ACB内部变化时，k应大于或等于kBC，或者k小于或等于kAC，当A、B两点的坐标变化时，也要能求出m的范围。

　　例3、已知x、y满足约束条件

　　x≥1，

　　x-3y≤-4，

　　3x+5y≤30，

　　求目标函数z=2x-y的最大值和最小值.

　　解：根据x、y满足的约束条件作出可行域，即如图所示的阴影部分（包括边界）.

　　作直线 ：2x-y=0，再作一组平行于 的直线 ：2x-y=t，t∈R.

　　可知，当 在 的右下方时，直线 上的点（x，y）满足2x-y＞0，即t＞0，而且直线 往右平移时，t随之增大.当直线 平移至 的位置时，直线经过可行域上的点B，此时所对应的t最大；当 在 的左上方时，直线 上的点（x，y）满足2x-y＜0，即t＜0，而且直线 往左平移时，t随之减小.当直线 平移至 的位置时，直线经过可行域上的点C，此时所对应的t最小.

　　x-3y+4=0，

　　由 解得点B的坐标为（5，3）；

　　3x+5y-30=0，

　　x=1，

　　由 解得点C的坐标为（1， ）.

　　3x+5y-30=0，

　　所以， =2×5-3=7； =2×1- = .

　　例4、某运输公司有10辆载重量为6吨的A型卡车与载重量为8吨的B型卡车，有11名驾驶员.在建筑某段高速公路中，该公司承包了每天至少搬运480吨沥青的任务.已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车8次，B型卡车7次；每辆卡车每天的成本费A型车350元，B型车400元.问每天派出A型车与B型车各多少辆，公司所花的成本费最低，最低为多少？

　　解：设每天派出A型车与B型车各x、y辆，并设公司每天的成本为z元.由题意，得

　　x≤10，

　　y≤5，

　　x+y≤11，

　　48x+56y≥60，

　　x，y∈N，

　　且z=350x+400y.

　　x≤10，

　　y≤5，

　　即 x+y≤11，

　　6x+7y≥55，

　　x，y∈N，

　　作出可行域，作直线 ：350x+400y=0，即7x+8y=0.

　　作出一组平行直线：7x+8y=t中（t为参数）经过可行域内的点和原点距离最近的直线，此直线经过6x+7y=60和y=5的交点A（ ，5），由于点A的坐标不都是整数，而x，y∈N，所以可行域内的点A（ ，5）不是最优解.

　　为求出最优解，必须进行定量分析.

　　因为，7× +8×5≈69.2，所以经过可行域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）且与原点最小的直线是7x+8y=10，在可行域内满足该方程的整数解只有x=10，y=0，所以（10，0）是最优解，即当 通过B点时，z=350×10+400×0=3500元为最小.

　　答：每天派出A型车10辆不派B型车，公司所化的成本费最低为3500元.

　　例5、已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB=2、OT=t (0<t<1)，以AB为直腰作直角梯形 ，使 垂直且等于AT，使 垂直且等于BT， 交半圆于P、Q两点，建立如图所示的直角坐标系.

　　(1)写出直线 的方程；

　　（2）计算出点P、Q的坐标；

　　（3）证明：由点P发出的光线，经AB反射后，反射光线通过点Q.

　　解: (1 ) 显然 , 于是 直线 的方程为 ；

　　（2）由方程组 解出 、 ；

　　（3） , .

　　由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知，由点P发出的光线经点T反射，反射光线通过点Q.

　　说明：需要注意的是, Q点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?

　　例6、设P是圆M：(x-5)2+(y-5)2=1上的动点，它关于A(9, 0)的对称点为Q，把P绕原点依逆时针方向旋转90°到点S，求SQ的最值。

　　解：设P(x, y)，则Q(18-x, -y)，记P点对应的复数为x+yi，则S点对应的复数为：

　　(x+yi)?i=-y+xi，即S(-y, x)

　　其中 可以看作是点P到定点B(9, -9)的距离，共最大值为 最小值为 ，则

　　SQ的最大值为 ，SQ的最小值为

　　例7、 已知⊙M： 轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，（1）如果 ，求直线MQ的方程；

　　（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程.

　　解:（1）由 ，可得 由射影定理，得 在Rt△MOQ中，

　　故 ，

　　所以直线AB方程是

　　（2）连接MB，MQ，设 由

　　点M，P，Q在一直线上，得

　　由射影定理得

　　即 把（*）及（**）消去a，

　　并注意到 ，可得

　　说明：适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在。

　　例8、直线 过抛物线 的焦点，且与抛物线相交于A 两点.（1）求证： ;

　　（2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线.

　　解: （1）易求得抛物线的焦点 .

　　若l⊥x轴，则l的方程为 .

　　若l不垂直于x轴，可设 ,代入抛物线方程整理得 .

　　综上可知 .

　　（2）设 ，则CD的垂直平分线 的方程为

　　假设 过F，则 整理得

　　这时 的方程为y=0，从而 与抛物线 只相交于原点. 而l与抛物线有两个不同的交点，因此 与l不重合，l不是CD的垂直平分线.

　　说明：此题是课本题的深化，课本是高考试题的生长点，复习要重视课本。

　　例9、已知椭圆 ，能否在此椭圆位于y轴左侧的部分上找到一点M，使它到左准线的距离为它到两焦点F1、F2距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。

　　解：假设存在满足条件的点，设M（x1，y1）a2=4，b2=3，∴a=2， ，c=1，∴ ，

　　，点M到椭圆左准线的距离

　　，∴ ，∴ ，∴ 或 ，这与x1∈[-2，0)相矛盾，∴满足条件的点M不存在。

　　例10、已知椭圆中心在原点，焦点在 轴上，焦距为4，离心率为 ，

　　（Ⅰ）求椭圆方程；

　　（Ⅱ）设椭圆在y轴正半轴上的焦点为M，又点A和点B在椭圆上，且M分有向线段 所成的比为2，求线段AB所在直线的方程。

　　解：（Ⅰ）设椭圆方程为 由2c=4得c=2 又

　　故a=3， ∴所求的椭圆方程为

　　（Ⅱ）若k 不存在，则 ，若k 存在，则设直线AB的方程为：y=kx+2

　　又设A

　　由 得

　　∵点M坐标为M（0，2） ∴

　　由 ∴

　　∴ 代入①、②得 … ③ ④

　　由③、④ 得 ∴

　　∴线段AB所在直线的方程为： 。

　　说明：有向线段所成的比，线段的定比分点等概念，本身就是解析几何研究的一类重要问题。向量概念的引入，使这类问题的解决显得简洁而流畅。求解这类问题可以用定比分点公式，也可以直接用有向线段的比解题。

　　另外，向量的长度，点的平移等与解析几何都有着千丝万缕的联系，向量与解析几何的结合，为解决这些问题开辟了新的解题途径。

　　例11、已知直线l与椭圆 有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程．

　　解：从直线 所处的位置, 设出直线 的方程,

　　由已知，直线l不过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为

　　代入椭圆方程 得

　　化简后，得关于 的一元二次方程

　　于是其判别式

　　由已知，得△=0．即 ①

　　在直线方程 中，分别令y=0，x=0，求得

　　令顶点P的坐标为（x，y）， 由已知，得

　　代入①式并整理，得 , 即为所求顶点P的轨迹方程．

　　说明：方程 形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗?

　　例12、已知双曲线 的离心率 ，过 的直线到原点的距离是 （1）求双曲线的方程；

　　（2）已知直线 交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.

　　解：∵（1） 原点到直线AB： 的距离 .

　　故所求双曲线方程为

　　（2）把 中消去y，整理得 .

　　设 的中点是 ，则

　　即

　　故所求k=± .

　　说明：为了求出 的值, 需要通过消元, 想法设法建构 的方程.

　　例13、过点 作直线 与椭圆3x2+4y2=12相交于A、B两点，O为坐标原点，求△OAB面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。

　　分析：若直接用点斜式设 的方程为 ，则要求 的斜率一定要存在，但在这里 的斜率有可能不存在，因此要讨论斜率不存在的情形，为了避免讨论，我们可以设直线 的方程为 ，这样就包含了斜率不存在时的情形了，从而简化了运算。

　　解：设A（x1，y1），B（x2，y2）， ：

　　把 代入椭圆方程得： ，即

　　∴ ，此时

　　令直线的倾角为 ，则

　　即△OAB面积的最大值为 ，此时直线倾斜角的正切值为 。

　　例14、（2003年江苏高考题）已知常数 ，向量

　　经过原点O以 为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以 为方向向量的直线相交于点P，其中 试问：是否存在两个定点E、F，使得PE+PF为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.

　　解：∵ =（1，0）， =（0，a）， ∴ +λ =（λ，a）， －2λ =（1，－2λa）.

　　因此，直线OP和AP的方程分别为 和 .

　　消去参数λ，得点 的坐标满足方程 .

　　整理得 ……①

　　因为 所以得：

　　（i）当 时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；

　　（ii）当 时，方程①表示椭圆，焦点 和 为合乎题意的两个定点；

　　（iii）当 时，方程①也表示椭圆，焦点 和 为合乎题意的两个定点.

　　说明：由于向量可以用一条有向线段来表示，有向线段的方向可以决定解析几何中直线的斜率，故直线的方向向量与解析几何中的直线有着天然的联系。求解此类问题的关键是：根据直线的方向向量得出直线方程，再转化为解析几何问题解决。

　　例15、已知椭圆 的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点 ，向量 与 是共线向量。

　　（1）求椭圆的离心率e；

　　（2）设Q是椭圆上任意一点， 、 分别是左、右焦点，求∠ 的取值范围；

　　解：（1）∵ ，∴ 。

　　∵ 是共线向量，∴ ，∴b=c,故 。

　　（2）设

　　当且仅当 时，cosθ=0，∴θ 。

　　说明：由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题。

　　例16、一条斜率为1的直线 与离心率为 的椭圆C： （ ）交于P、Q，两点，直线 与Y轴交于点R，且 ， ，求直线 和椭圆C的方程。

　　解： 椭圆离心率为 ， ，

　　所以椭圆方程为 ，设 方程为： ，

　　由 消去 得

　　……（1） ……（2）

　　所以

　　而

　　所以

　　所以 ……（3）又 ， ， 从而 ……（4） 由（1）（2）（4）得 ……（5）

　　由（3）（5）解得 ， 适合 ，

　　所以所求直线 方程为： 或 ；椭圆C的方程为

　　说明：向量数量积的坐标表示，构建起向量与解析几何的密切关系，使向量与解析几何融为一体。求此类问题的关键是：利用向量数量积的坐标表示，沟通向量与解析几何的联系。体现了向量的工具性。

　　例17、已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且∠F1PF2的最大值为90°，直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，△ABF2的面积最大值为12．

　　（1）求椭圆C的离心率；

　　（2）求椭圆C的方程．

　　解法一：（1）设 , 对 由余弦定理, 得

　　， 解出

　　（2）考虑直线 的斜率的存在性，可分两种情况：

　　i) 当k存在时，设l的方程为 ………………①

　　椭圆方程为

　　由 得 .

　　于是椭圆方程可转化为 ………………②

　　将①代入②，消去 得 ,

　　整理为 的一元二次方程，得 .

　　则x1、x2是上述方程的两根．且

　　AB边上的高

　　ii) 当k不存在时，把直线 代入椭圆方程得

　　由①②知S的最大值为 由题意得 =12 所以

　　故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为：

　　解法二：设过左焦点的直线方程为： …………①

　　椭圆的方程为：

　　由 得： 于是椭圆方程可化为： ……②

　　把①代入②并整理得：

　　于是 是上述方程的两根.

　　AB边上的高 ,

　　从而

　　当且仅当m=0取等号，即

　　由题意知 , 于是 .

　　故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为：

　　例18、（2002年天津高考题）已知两点M（-1，0），N（1，0）且点P使 成公差小于零的等差数列，

　　（Ⅰ）点P的轨迹是什么曲线？

　　（Ⅱ）若点P坐标为 ， 为 的夹角，求tanθ。

　　解：（Ⅰ）记P（x,y），由M（-1，0）N（1，0）得

　　所以

　　于是， 是公差小于零的等差数列等价于

　　即

　　所以，点P的轨迹是以原点为圆心， 为半径的右半圆。

　　（Ⅱ）点P的坐标为 。 。

　　因为 0〈 ， 所以

　　说明：在引入向量的坐标表示后，可以使向量运算代数化，这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起。向量的夹角问题融入解析几何问题中，也就显得十分自然。求解这类问题的关键是：先把向量用坐标表示，再用解析几何知识结合向量的夹角公式使问题获解；也可以把两向量夹角问题转化为两直线所成角的问题，用数形结合方法使问题获解。

　　（Ⅲ）、强化训练

　　1、已知P是以 、 为焦点的椭圆 上一点，若 ，则椭圆的离心率为 （ ）

　　（A） （B） （C） （D）

　　2、已知△ABC的顶点A(3, -1)，AB边上的中线所在直线的方程为6x+10y-59=0，∠B的平分线所在直线的方程为：x-4y+10=0，求边BC所在直线的方程。

　　3、求直线l2：7x-y+4=0到l1：x+y-2=0的角平分线的方程。

　　食物P食物Q食物R

　　维生素A（单位/kg）400600400

　　维生素B（单位/kg）800200400

　　成本（元/kg）654

　　4、已知三种食物P、Q、R的维生素含量与成本如下表所示.

　　现在将xkg的食物P和ykg的食物Q及zkg的食物R混合，制成100kg的混合物.如果这100kg的混合物中至少含维生素A44 000单位与维生素B48 000单位，那么x，y，z为何值时，混合物的成本最小？

　　5、某人有楼房一幢，室内面积共180 ，拟分隔成两类房间作为旅游客房.大房间每间面积为18 ，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15 ，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元.装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元.如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？

　　6、已知△ABC三边所在直线方程AB：x-6=0，BC：x-2y-8=0，CA：x+2y=0，求此三角形外接圆的方程。

　　7、已知椭圆x2+2y2=12，A是x轴正方向上的一定点，若过点A，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为 ，求点A的坐标。

　　8、已知椭圆 （a＞b＞0）上两点A、B，直线 上有两点C、D，且ABCD是正方形。此正方形外接圆为x2+y2-2y-8=0，求椭圆方程和直线 的方程。

　　9、求以直线 为准线，原点为相应焦点的动椭圆短轴MN端点的轨迹方程。

　　10、若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点，又焦点到同侧长轴端点的距离为 ，求椭圆的方程。

　　11、已知直线 与椭圆 相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线 上.

　　（１）求此椭圆的离心率；

　　（2 ）若椭圆的右焦点关于直线 的对称点的在圆 上，求此椭圆的方程.

　　12、设A（x1，y1）为椭圆x2+2y2=2上任意一点，过点A作一条直线 ，斜率为 ，又设d为原点到直线 的距离,r1、r2分别为点A到椭圆两焦点的距离。求证： 为定值。

　　13、 某工程要将直线公路l一侧的土石，通过公路上的两个道口A和B，沿着道路AP、BP运往公路另一侧的P处，PA=100m，PB=150m，∠APB=60°，试说明怎样运土石最省工？

　　14、已知椭圆 （a＞b＞0），P为椭圆上除长轴端点外的任一点，F1、F2为椭圆的两个焦点，（1）若 ， ，求证：离心率 ；（2）若 ，求证： 的面积为 。

　　15、在Rt△ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC= 。DO⊥AB于O点，OA=OB，DO=2，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持 PA + PB 的值不变.

　　（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；

　　（2）过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设 ，

　　试确定实数 的取值范围．

　　16、 （2004年北京春季高考） 已知点A（2，8）， 在抛物线 上， 的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）

　　（I）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；

　　（II）求线段BC中点M的坐标； （III）求BC所在直线的方程。

　　（Ⅳ）、参考答案

　　1、解：设c为为椭圆半焦距，∵ ∴

　　又 ∴

　　解得： 选（D）。

　　说明：垂直向量的引入为解决解析几何问题开辟了新思路。求解此类问题的关键是利用向量垂直的充要条件：“ ”，促使问题转化，然后利用数形结合解决问题。

　　2、解：设B(a, b)，B在直线BT上，∴a-4b+10=0① 又AB中点 在直线CM上，∴点M的坐标满足方程6x+10y-59=0 ∴ ② 解①、②组成的方程组可得a=10，b=5 ∴B(10, 5)，又由角平分线的定义可知，直线BC到BT的角等于直线BT到直线BA的角，又 ∴ ∴ ，∴BC所在直线的方程为 即2x+9y-65=0

　　3、解法一：设l2到l1角平分线l的斜率为k，∵k1=-1，k2=7

　　∴ ，解之得k=-3或 ，由图形可知k<0，

　　∴k=-3，又由 解得l1与l2的交点 ，

　　由点斜式得 即6x+2y-3=0

　　解法二：设l2到l1的角为θ，则 ，所以角θ为锐角，而 ，由二倍角公式可知 ∴ 或 为锐角，

　　∴ ，∴k=-3等同解法一。

　　解法三：设l：(x+y-2)+λ(7x-y+4)=0 即(1+7λ)x+(1-λ)y+(4λ-2)=0①

　　∴ ，由解法一知 ，∴ ，代入①化简即得：6x+2y-3=0

　　解法四：用点到直线的距离公式，设l上任一点P(x, y)，则P到l1与l2的距离相等。

　　∴ 整理得：6x+2y-3=0与x-3y+7=0，又l是l2到l1的角的平分线，

　　k<0，∴x-3y+7=0不合题意所以所求直线l的方程为6x+2y-3=0.

　　4、分析：由x+y+z=100，得z=100-x-y，所以上述问题可以看作只含x，y两个变量.设混合物的成本为k元，那么k=6x+5y+4（100-x-y）=2x+y+400.于是问题就归结为求k在已知条件下的线性规划问题.

　　解：已知条件可归结为下列不等式组：

　　x≥0，

　　y≥0，

　　x+y≤100，

　　400x+600y+400（100-x-y）≥44000，

　　800x+200y+400（100-x-y）≥48000.

　　x+y≤100，

　　即 y≥20， ①

　　2x-y≥40.

　　在平面直角坐标系中，画出不等式组①所表示的平面区域，这个区域是直线x+y=100，y=20，2x-y=40围成的一个三角形区域EFG（包括边界），即可行域，如图所示的阴影部分.

　　设混合物的成本为k元，那么k=6x+5y+4（100-x-y）=2x+y+400.

　　作直线 ：2x+y=0，把直线 向右上方平移至 位置时，直线经过可行域上的点E，且与原点的距离最小，此时2x+y的值最小，从而k的值最小.

　　2x-y=40， x=30，

　　由 得 即点E的坐标是（30，20）.

　　y=20， y=20，

　　所以， =2×30+20+400=480（元），此时z=100-30-20=50.

　　答：取x=30，y=20，z=50时，混合物的成本最小，最小值是480元.

　　5、解：设隔出大房间x间，小房间y间时收益为z元，则x、y满足

　　18x+15y≤180，

　　1000x+600y≤8000，

　　x，y∈N，

　　且 z=200x+150y.

　　所以 6x+5y≤60，

　　5x+3y≤40，

　　x，y∈N，

　　作出可行域及直线 ：200x+150y=0，即4x+3y=0.（如图4）

　　把直线 向上平移至 的位置时，直线经过可行域上的点B，且与原点距离最大.此时，z=200x+150y取最大值.但解6x+5y=60与5x+3y=40联立的方程组得到B（ ， ）.由于点B的坐标不是整数，而x，y∈N，所以可行域内的点B不是最优解.

　　为求出最优解，同样必须进行定量分析.

　　因为4× +3× = ≈37.1，但该方程的非负整数解（1，11）、（4，7）、（7，3）均不在可行域内，所以应取4x+3y=36.同样可以验证，在可行域内满足上述方程的整点为（0，12）和（3，8）.此时z取最大值1800元.

　　6、解：解方程组可得A(6, -3)、B(6, -1)、C(4, 2)设方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，则：

　　解之得：D= ，E=4，F=30

　　所以所求的△ABC的外接圆方程为：

　　7、分析：若直线y=kx+b与圆锥曲线f（x，y）=0相交于两点P（x1，y1）、Q（x2、y2），则弦PQ的长度的计算公式为 ，而

　　，因此只要把直线y=kx+b的方程代入圆锥曲线f（x，y）=0方程，消去y（或x），结合一元二次方程根与系数的关系即可求出弦长。

　　解：设A（x0，0）（x0＞0），则直线 的方程为y=x-x0，设直线 与椭圆相交于P（x1，y1），

　　Q（x2、y2），由 y=x-x0 可得3x2-4x0x+2x02-12=0，

　　x2+2y2=12

　　， ，则

　　∴ ，即

　　∴x02=4，又x0＞0，∴x0=2，∴A（2，0）。

　　8、解：圆方程x2+y2-2y-8=0即x2+(y-1)2=9的圆心O＇（0，1），半径r=3。

　　设正方形的边长为p，则 ，∴ ，又O＇是正方形ABCD的中心，∴O＇到直线y=x+k的距离应等于正方形边长p的一半即 ，由点到直线的距离公式可知k=-2或k=4。

　　（1）设AB：y=x-2 由 y=x-2

　　CD：y=x+4 x2+y2-2y-8=0

　　得A（3，1）B（0，-2），又点A、B在椭圆 上，∴a2=12，b2=4，椭圆的方程为 。

　　（2）设AB：y=x+4，同理可得两交点的坐标分别为（0，4），（-3，1）代入椭圆方程得

　　，此时b2＞a2（舍去）。

　　综上所述，直线 方程为y=x+4，椭圆方程为 。

　　9、分析：已知了椭圆的焦点及相应准线，常常需要运用椭圆的第二定义：椭圆上的点到焦点的距离与到相应准线的距离之比等于离心率e，而该题中短轴端点也是椭圆上的动点，因此只要运用第二定义结合a、b、c的几何意义即可。

　　解：设M（x，y），过M作 于A， ， ，∴ ，又过M作 轴于O＇，因为点M为短轴端点，则O＇必为椭圆中心，

　　∴ ， ，∴ ，∴ 化简得y2=2x，∴短轴端点的轨迹方程为y2=2x（x≠0）。

　　10、解：若椭圆的焦点在x轴上，如图，∵四边形B1F1B2F2是正方形，且A1F1= ，由椭圆的几何意义可知， 解之得： ，此时椭圆的方程为 ，同理焦点也可以在y轴上，综上所述，椭圆的方程为 或 。

　　11、解:（1）设A、B两点的坐标分别为 得

　　根据韦达定理，得

　　∴线段AB的中点坐标为（ ）.

　　由已知得

　　故椭圆的离心率为 .

　　（2）由（1）知 从而椭圆的右焦点坐标为 设 关于直线 的对称点为

　　解得

　　由已知得

　　故所求的椭圆方程为 .

　　12、分析：根据椭圆的第二定义，即到定点的距离与到定直线的距离之比等于常数e（0＜e＜1）的点的轨迹是椭圆，椭圆 上任一点P（x1，y1）到左焦点F1的距离PF1=a+ex1，到右焦点F2的距离PF2=a-ex1；同理椭圆 上任一点P（x1，y1）到两焦点的距离分别为a+ey1和a-ey1，这两个结论我们称之为焦半径计算公式，它们在椭圆中有着广泛的运用。

　　解：由椭圆方程 可知a2=2，b2=1则c=1，∴离心率 ，由焦半径公式可知， 。又直线 的方程为：

　　即x1x+2y1y-2=0，由点到直线的距离公式知， ，又点（x1，y1）在椭圆上，∴2y12=2=x12，

　　∴ 为定值。

　　13、解: 以直线l为x轴，线段AB的中点为原点对立直角坐标系，则在l一侧必存在经A到P和经B到P路程相等的点，设这样的点为M，则

　　MA+AP=MB+BP,

　　即 MA－MB=BP－AP=50,

　　∴M在双曲线 的右支上.

　　故曲线右侧的土石层经道口B沿BP运往P处，曲线左侧的土石层经道口A沿AP运往P处，按这种方法运土石最省工.

　　相关解析几何的实际应用性试题在高考中似乎还未涉及，其实在课本中还可找到典型的范例，你知道吗？

　　14、分析： 的两个顶点为焦点，另一点是椭圆上的动点，因此 ，F1F2=2c，所以我们应以 为突破口，在该三角形中用正弦定理或余弦定理，结合椭圆的定义即可证得。

　　证明：（1）在 中，由正弦定理可知 ，则

　　（2）在 中由余弦定理可知

　　y

　　15、解: （1）建立平面直角坐标系, 如图所示 .

　　∵ PA + PB = CA + CB =

　　∴动点P的轨迹是椭圆 .

　　∴曲线E的方程是 .

　　（2）设直线L的方程为 , 代入曲线E的方程 ，得

　　设M1（ , 则

　　i) L与y轴重合时，

　　ii) L与y轴不重合时，

　　由①得 又∵ ,

　　∵ 或

　　∴0＜ ＜1 , ∴ .

　　而 ∴ ∴

　　∴ 的取值范围是 。

　　16、分析：本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力。

　　解：（I）由点A（2，8）在抛物线 上，有 解得

　　所以抛物线方程为 ，焦点F的坐标为（8，0）

　　（II）如图，由F（8，0）是 的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且 设点M的坐标为 ，则

　　解得 所以点M的坐标为

　　（III）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴。

　　设BC所成直线的方程为

　　由 消x得

　　所以 由（II）的结论得 解得

　　因此BC所在直线的方程为 即 。

　　2016届高考数学知识要点平面向量的数量积复习教案

　　平面向量的数量积

　　一．复习目标：掌握平面向量的数量积及其性质和运算率，掌握两向量夹角及两向量垂直的充要条和向量数量积的简单运用．

　　二．主要知识：

　　1．平面向量数量积的概念；

　　2．平面向量数量积的性质： 、 ；

　　3．向量垂直的充要条： ．

　　三．前练习：

　　1.下列命题中是正确的有

　　①设向量 与 不共线，若 ，则 ； ② ；

　　③ ，则 ； ④若 ，则

　　2．已知 为非零的平面向量. 甲： （ ）

　　甲是乙的充分条但不是必要条 甲是乙的必要条但不是充分条

　　甲是乙的充要条 甲既不是乙的充分条也不是乙的必要条

　　3．已知向量 ，如果向量 与 垂直，则 的值为 （ ）

　　2

　　4．平面向量 中，已知 ，且 ，则向量 ___ __ ____.

　　5．已知 = =2， 与 的夹角为600，则 + 在 上的投影为 。

　　6．设向量 满足 ，则 。

　　7．已知向量 的方向相同，且 ，则 ___ ____。

　　8．已知向量 和 的夹角是120°，且 ， ，则 = 。

　　四．例题分析：

　　例1．已知平面上三个向量 、 、 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°，

　　（1）求证： ⊥ ； （2）若 ，求 的取值范围.

　　小结：

　　例2．已知： 、 、 是同一平面内的三个向量，其中 =（1，2）

　　（1）若 ，且 ，求 的坐标；

　　（2）若 = 且 与 垂直，求 与 的夹角 .

　　小结：

　　例3．设两个向量 、 ，满足 ， ， 、 的夹角为60°，若向量 与向量 的夹角为钝角，求实数 的取值范围.

　　小结：

　　例4．如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问

　　的夹角 取何值时 的值最大？并求出这个最大值。

　　小结：

　　五．后作业： 班级 学号 姓名

　　1．已知向量 ,向量 则 的最大值，最小值分（ ）

　　16，0 4，0

　　2．平面直角坐标系中， 为坐标原点，已知两点 ， ，若点 满足

　　，其中 ，且 ，则点 的轨迹方程为： （ ）

　　3．已知向量 ， ，那么 的值是（ ）

　　1

　　4．在 中， ， 的面积是 ，若 ， ，则 ( )

　　5．已知 为原点，点 的坐标分别为 ， ，其中常数 ，点 在线段 上，且有 ，则 的最大值为 （ ）

　　6．设 是双曲线 的两个焦点，点 在双曲线上，且 ，则 的值等于 （ ）

　　2 4 8

　　7.设 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则 （ ）

　　③ 不与 垂直 ④

　　中，是真命题的有 ( )

　　（A）①② （B）②③ （C）③④ （D）②④

　　8．设 为平面上四个点， ， ， ，且 ， = ，则 ＝___________________。

　　9．若对 个向量 存在 个不全为零的实数 ，使得 成立，则称向量 为“线性相关”．依此规定， 能说明 ， ， “线性相关”的实数 依次可以取 ；（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）．

　　10．向量 都是非零向量，且 ，求向量 与 的夹角.

　　11．已知向量 ， ，

　　（1）当 ，求 ；

　　（2）若 ≥ 对一切实数 都成立，求实数 的取值范围。

　　12．设 , , , ， 与 轴正半轴的夹角为 , 与 轴正半轴的夹角为 ，且 ,求 ．

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