数学函数的最值教案
第八课时 函数的最值
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学习要求
1．了解函数的最大值与最小值概念；
2．理解函数的最大值和最小值的几何意义；
3．能求一些常见函数的最值和值域．
自学评价
1．函数最值的定义：
一般地，设函数 的定义域为 ．
若存在定值 ，使得对于任意 ，有 恒成立，则称 为 的最大值，记为 ；
若存在定值 ，使得对于任意 ，有 恒成立，则称 为 的最小值，记为 ；
2．单调性与最值：
设函数 的定义域为 ，
若 是增函数，则 ， ；
若 是减函数，则 ， ．
【精典范例】
一．根据函数图像写单调区间和最值：
例1：如图为函数 ， 的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．
【解】
由图可以知道：
当 时，该函数取得最小值 ；
当 时，函数取得最大值为 ；
函数的单调递增区间有２个： 和 ；
该函数的'单调递减区间有三个： 、 和
二．求函数最值：
例2：求下列函数的最小值：
（1） ；
（2） ， ．
【解】
（１）
∴当 时， ；
（２）因为函数 在 上是单调减函数，所以当 时函数 取得最小值为 ．
追踪训练一
1. 函数 在 上的最小值（A ）
与 的取值有关
不存在
2. 函数 的最小值是 ０ ，最大值是 ．
3. 求下列函数的最值：
(1) ；
(2)
析：因为函数的最值是值域中的最大值和最小值，所以求函数的最值的方法有时和求函数值域的方法是相仿的．
解：(1) ; ;
所以当 时， ；当 时， ；
(2)函数 是一次函数，且
故 在区间 上是增函数
所以当 时， ；
当 时， ；
【选修延伸】
含参数问题的最值：
例３: 求 ， 的最小值．
【解】
，其图象是开口向上，对称轴为 的抛物线．
①若 ，则 在 上是增函数，∴ ；
②若 ，则 ；
③若 ，则 在 上是减函数，∴ 的最小值不存在．
点评:
含参数问题的最值，一般情况下，我们先将参数看成是已知数，但不能解了我们再进行讨论！
思维点拔：
一、利用单调性写函数的最值？
我们可以利用函数的草图，如果函数在区间 上是图像连续的，且在 是单调递增的，在 上是单调递减的，则该函数在区间 上的最大值一定是在 处取得；同理，若函数在区间 上是图像连续的，且在 是单调递减的，在 上是单调递增的，则该函数在区间 上的最小值一定是在 处取得．
追踪训练
１．函数 的最大值是
( D)
2. =x2+ 的最小值为( C )
A.0B. C.1D不存在.
3. 函数 在区间 上的最大值为 ，则 ____ ____．
4.函数 的最大值为 .
5．已知二次函数 在 上有最大值4，求实数 的值．
解：函数 的对称轴为 ，
当 时，则当 时函数取最大值 ，即 即 ；
当 时，则当 时函数取得最大值 ，即 ，即
所以， 或 。
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