二次函数的图象和性质数学教案

时间:2022-10-11 12:46:14 数学教案 我要投稿
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二次函数的图象和性质数学教案

  教学目标

二次函数的图象和性质数学教案

  【知识与技能】

  使学生会用描点法画出函数y=ax2的图象,理解并掌握抛物线的有关概念及其性质.

  【过程与方法】

  使学生经历探索二次函数y=ax2的图象及性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验,培养学生分析、解决问题的能力.

  【情感、态度与价值观】

  使学生经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程,培养学生观察、思考、归纳的良好思维品质.

  重点难点

  【重点】

  使学生理解抛物线的有关概念及性质,会用描点法画出二次函数y=ax2的图象.

  【难点】

  用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数的性质.

  教学过程

  一、问题引入

  1.一次函数的图象是什么?反比例函数的图象是什么?

  (一次函数的图象是一条直线,反比例函数的图象是双曲线.)

  2.画函数图象的一般步骤是什么?

  一般步骤:(1)列表(取几组x,y的对应值);(2)描点(根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y));(3)连线(用平滑曲线).

  3.二次函数的图象是什么形状?二次函数有哪些性质?

  (运用描点法作二次函数的图象,然后观察、分析并归纳得到二次函数的性质.)

  二、新课教授

  【例1】 画出二次函数y=x2的图象.

  解:(1)列表中自变量x可以是任意实数,列表表示几组对应值.

  (2)描点:根据上表中x,y的数值在平面直角坐标系中描点(x,y).

  (3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=x2的图象,如图所示.

  思考:观察二次函数y=x2的图象,思考下列问题:

  (1)二次函数y=x2的图象是什么形状?

  (2)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?

  (3)图象有最低点吗?如果有,最低点的坐标是什么?

  师生活动:

  教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2的图象,通过数形结合解决上面的3个问题.

  学生动手画图,观察、讨论并归纳,积极展示探究结果,教师评价.

  函数y=x2的图象是一条关于y轴(x=0)对称的曲线,这条曲线叫做抛物线.实际上二次函数的图象都是抛物线.二次函数y=x2的图象可以简称为抛物线y=x2.

  由图象可以看出,抛物线y=x2开口向上;y轴是抛物线y=x2的对称轴:抛物线y=x2与它的对称轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点,它是抛物线y=x2的最低点.实际上每条抛物线都有对称轴,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点.

  【例2】 在同一直角坐标系中,画出函数y=x2及y=2x2的图象.

  解:分别填表,再画出它们的图象.

  思考:函数y=x2、y=2x2的图象与函数y=x2的图象有什么共同点和不同点?

  师生活动:

  教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2、y=2x2的图象.

  学生动手画图,观察、讨论并归纳,回答探究的思路和结果,教师评价.

  抛物线y=x2、y=2x2与抛物线y=x2的开口均向上,顶点坐标都是(0,0),函数y=2x2的图象的开口较窄,y=x2的图象的开口较大.

  探究1:画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象,并考虑这些图象有什么共同点和不同点。

  师生活动:

  学生在平面直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象,观察、讨论并归纳.教师巡视学生的探究情况,若发现问题,及时点拨.

  学生汇报探究的思路和结果,教师评价,给出图形.

  抛物线y=-x2、y=-x2、y=-2x2开口均向下,顶点坐标都是(0,0),函数y=-2x2的图象开口最窄,y=-x2的图象开口最大.

  探究2:对比抛物线y=x2和y=-x2,它们关于x轴对称吗?抛物线y=ax2和y=-ax2呢?

  师生活动:

  学生在平面直角坐标系中画出函数y=x2和y=-x2的图象,观察、讨论并归纳.

  教师巡视学生的探究情况,发现问题,及时点拨.

  学生汇报探究思路和结果,教师评价,给出图形.

  抛物线y=x2、y=-x2的图象关于x轴对称.一般地,抛物线y=ax2和y=-ax2的图象也关于x轴对称.

  教师引导学生小结(知识点、规律和方法).

  一般地,抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.当a0时,抛物线y=ax2的开口向上,顶点是抛物线的最低点,当a越大时,抛物线的开口越小;当a0时,抛物线y=ax2的开口向下,顶点是抛物线的最高点,当a越大时,抛物线的开口越大.

  从二次函数y=ax2的图象可以看出:如果a0,当x0时,y随x的增大而减小,当x0时,y随x的增大而增大;如果a0,当x0时,y随x的增大而增大,当x0时,y随x的增大而减小.

  三、巩固练习

  1.抛物线y=-4x2-4的开口向,顶点坐标是,对称轴是,当x=时,y有最值,是.

  【答案】下 (0,-4) x=0 0 大 -4

  2.当m≠时,y=(m-1)x2-3m是关于x的二次函数.

  【答案】1

  3.已知抛物线y=-3x2上两点A(x,-27),B(2,y),则x=,y=.

  【答案】-3或3 -12

  4.抛物线y=3x2与直线y=kx+3的交点坐标为(2,b),则k=,b=.

  【答案】 12

  5.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,且经过点(-1,-2),则抛物线的表达式为.

  【答案】y=-2x2

  6.在同一坐标系中,图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是()

  A.y=x2B.y=x2

  C.y=-2x2 D.y=-x2

  【答案】C

  7.抛物线y=4x2、y=-2x2、y=x2的图象,开口最大的是()

  A.y=x2 B.y=4x2

  C.y=-2x2 D.无法确定

  【答案】A

  8.对于抛物线y=x2和y=-x2在同一坐标系中的位置,下列说法错误的是()

  A.两条抛物线关于x轴对称

  B.两条抛物线关于原点对称

  C.两条抛物线关于y轴对称

  D.两条抛物线的交点为原点

  【答案】C

  四、课堂小结

  1.二次函数y=ax2的图象过原点且关于y轴对称,自变量x的取值范围是一切实数.

  2.二次函数y=ax2的性质:抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.当a0时,抛物线y=x2开口向上,顶点是抛物线的最低点,当a越大时,抛物线的开口越小;当a0时,抛物线y=ax2开口向下,顶点是抛物线的最高点,当a越大时,抛物线的开口越大.

  3.二次函数y=ax2的图象可以通过列表、描点、连线三个步骤画出来.

  教学反思

  本节课的内容主要研究二次函数y=ax2在a取不同值时的图象,并引出抛物线的有关概念,再根据图象总结抛物线的有关性质.整个内容分成:(1)例1是基础;(2)在例1的基础之上引入例2,让学生体会a的大小对抛物线开口宽阔程度的影响;(3)例2及后面的练习探究让学生领会a的正负对抛物线开口方向的影响;(4)最后让学生比较例1和例2,练习归纳总结.

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