有关数学轴对称的教学教案设计
本章概述
本章主要从生活中的图形入手，学习轴对称及其基本性质，欣赏、体验轴对称在现实生活中的广泛应用.在此基础上，利用轴对称探索等腰三角形的性质及其判定方法，进一步学习等边三角形的性质和判定.
轴对称是现实生活中广泛存在的一种现象，是密切数学知识与现实联系的重要内容.本章内容是上一章内容的继续.又是后面学习四边形、圆的基础，所以学好本节知识至关重要.本节中涉及轴对称、等腰三角形、等边三角形、垂直平分线等重要概念，涉及等腰三角形“等边对等角”、“三线合一”等重要性质，在学习时应特别注意.
本章学习重难点
【本章重点】
1.轴对称的概念和性质和判定.
2.等腰(或等边)三角形的性质和判定.
【本章难点】1.利用轴对称的性质进行图案设计.
2.书写推理证明过程.
学法指导
1.注意联系实际，通过观察、动手操作等直观方式掌握轴对称及等腰三角形的性质和判定，利用轴对称的观点解释生活中的有关现象，设计图案选择最佳方案等，体现知识的应用，体现具体——抽象——具体的过程.
2.注意知识间的联系.图形的轴对称变换、图形与坐标、图形的证明在本章都有涉及，注意各部分知识之间的联系，把所学知识纳入已有的知识体系.
3.注意体会转化思想、类比思想、分类讨论思想在本章学习中的应用.
知识网络结构图
专题总结及应用
一、知识性专题
专题1 轴对称及轴对称图形
【专题解读】 此部分内容是近几年中考中常见的题型，也是新题型之一，解题的依据主要是轴对称及轴对称的性质.
例1如图12-112所示的是小方画的正方形风筝图案，她以图中的对角线所在直线为对称轴，在对角线的下方画一个三角形，使得新的风筝图案成为轴对称图形，若如图12-113所示的图形中有一图形为此轴对称图形，则此图为()
分析 本题主要考查轴对称图形的性质，即对应点连线被对称轴垂直平分，只有C为轴对称图形.故选C.
规律方法 判断某图形是否为轴对称图形(或两个图形是否成轴对称)，关键是能否找到一条直线可将这个图形(或两个图形)沿着这条直线对折，使对折后的两部分(或两个图形)重合.
专题2 利用轴对称变换作轴对称变换后的图形及设计方案
【专题解读】利用轴对称变换设计精美图案，当对称轴改变方向时，原图形的对称图形也改变方向，一个图形经过若干次轴对称变换，再结合平移、旋转等.就可以得到非常美丽的图案.
例2 如图12-114①所示，给出了一个图案的一半，其中的虚线就是这个图案的对称轴，请画出这个图案的另一半.
解：如图12-114②所示.
【解题策略】先作出特殊点的对称点，然后连接即可.
专题3 等腰三角形的性质和判定
【专题解读】等腰三角形的性质和判定可以用来证明角相等、线段相等以及线段垂直，这是几何证明中最重要的知识之一，它经常与其他几何知识(如四边形、圆等)综合在一起考查.
例3 如图12-115所示，AB=AC，E，D分别在AB，AC上，BD和CE相交于点F，且∠ABD=∠ACE.求证BF=CF.
分析 本题综合考查等腰三角形的性质和判定.由于AB=AC，所以作辅助线BC，则可以构造等腰三角形，从而利用等腰三角形的性质解决问题.
证明：连接BC，
∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC(等边对等角).
又∵∠ACE=∠ABD，∴∠FCB=∠FBC.
∴BF=CF(等角对等边).
【解题策略】本题解题时灵活运用了等腰三角形的性质和判定，也可以连辅助线AF，来证明BF=CF，用这个方法证明要用到三角形全等，比较麻烦.
专题4等边三角形的性质和判定
【专题解读】 等边三角形是一个很特殊的三角形，它的三边都相等，三个角都是60°，正是由于它的特殊性，因此在很多的几何证明题中都会用到.
例4 如图12-116所示，AD是△ABC的中线，∠ADC=60°，BC=4，若将△ADC沿直线AD折叠，则C点落在点E的位置上，求BE的长.
分析 本题综合考查轴对称和等边三角形的判定和性质.
解：由折叠得∠ADE=∠ADC=60°，CD=DE.
又∵BD=DC，∴DE=BD.
∵∠ADE=∠ADC=60°，
∴∠BDE=180°-60°-60°=60°.
∴△BDE为等边三角形.
∴BE=BD=BC=2.
【解题策略】 本题运用了“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”这一判定方法.
专题5含30°角的`直角三角形的性质与等腰三角形的综合应用
【专题解读】直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，这条性质在实际生活中有着广泛的应用.由角的特殊性，揭示了直角三角形中直角边和斜边的关系.
例5 如图12-117所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D.求证BE=3AD.
分析 本题综合考查等腰三角形的性质和判定，以及直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半的性质.
证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C(等边对等角).
又∵∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°.
∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°.
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=120°-90°=30°.∴∠B=∠BAD.
∴BD=AD(等角对等边).
在Rt△ADC中，∵∠C=30°，∴CD=2AD.
∴BC=BD+CD=AD+2AD=3AD.
二、规律方法专题
专题6 正确作辅助线解决问题
【专题解读】本章涉及等腰三角形的性质、角平分线及线段的垂直平分线的性质，做题时可通过添加适当的辅助线由全等等知识获得结论.
例6 如图12-118所示，∠B=90°，AD=AB=BC，DE⊥AC.求证BF=DC.
证明：连接AE.
∵ED⊥AC，∴∠ADE=90°.
又∵∠B=90°.
∴在Rt△ABE和Rt△ADE中，
∴Rt△ABE≌Rt△ADE(HL)，∴BE=ED.
∵AB=BC，∴∠BAC=∠C.
又∵∠B=90°，∴∠BAC+∠C=90°.
∴∠C=45°.
∵∠EDC=90°，∴∠C=∠DEC=45°.
∴DE=DC，∴BE=DC.
例7 如图12-119所示，在△ABC中，AB=AC，在AB上取一点E，在AC的延长线上取一点F，使BE=CF，EF交BC于G.求证EG=FG.
证明：过E作EM∥AC，交BC于点M，
则∠EMB=∠ACB，∠MEG=∠F.
又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB.
∴∠B=∠EMB，∴EB=EM.
又∵BE=CF，∴EM=FC.
在△MEG和△CFG中，
∴△MEG≌△CFG(AAS).
∴EG=FG.
三、思想方法专题
专题7 分类讨论思想
【专题解读】 本章涉及等腰三角形的边、角的计算，应通过题意探讨其可能存在的情况，运用相关知识一一讨论不难获得结论.
例8 已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为13cm和15cm两部分，试求此等腰三角形的腰长和底边长.
分析这是一类常见的等腰三角形分类讨论的问题，解题时应注意到分为13cm和15cm两部分时的两种可能情形，进行分类讨论即可.
解：如图12-120所示，AB=AC，D为AC的中点，
所以AD=CD，
由题意知或
解得AB=AC=，BC=或AB=AC=10，BC=8.
即此等腰三角形的腰长与底边长分别为cm，cm或10cm，8cm.
规律方法 本题的分类讨论既可以说是来源于不同的图形.也可以说是来源于题设中的“不明确”，解题过程应从题设中挖掘出类似的信息，以使解答完整.
专题8 数形结合思想
【专题解读】 数形结合思想是比较常用的数学思想，在解有关三角形的问题时显得尤为重要.
例9(开放题)如图12-121所示，△ABC中，已知AB=AC，要使AD=AE，需添加的条件是 .
分析从确定△ADE是等腰三角形着眼，若∠ADE=∠AED，可得AD=AE，除此以外还可加∠ADB=∠AEC或∠BAD=∠CAE或BD=CE.故填∠ADE=∠AED或∠ADB=∠AEC或∠BAD=∠CAE或BD=CE(答案不唯一).
例10(探究题)如图12-122所示，线段OP的一个端点O在直线a上，以OP为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画几个?
分析 以OP为一边画等腰三角形，要考虑OP作腰和OP作底边两种情况.
解：(1)当OP作等腰三角形的腰时，分O作顶点和P作顶点两种情况.当O作顶点，OP作腰时，则以O为圆心，OP为半径画弧，与直线a交于M1，M2两点，则△OPM1和△OPM2都是等腰三角形;当P作顶点，PO作腰时，则以P为圆心，PO为半径画弧，交直线a于M3，则△POM3为等腰三角形.(2)当OP作等腰三角形的底边时，作OP的垂直平分线交直线a于M4，则△OPM4为等腰三角形.
所以这样的等腰三角形能画4个.如图12-123所示.
例11(动手操作题)如图12-124①所示，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，仿照图①请你再用两种不同的方法，将△ABC分割成3个三角形，使每个三角形都是等腰三角形(作图工具不限，不写作法和证明，但要标出所分得的每个等腰三角形的内角的度数).
分析 在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，所以∠B=∠C=72°.所以分割出的等腰三角形的底角或顶角为36°，72°，108°，18°，144°，以这些度数为基础设计分割方案，便可得出符合条件的图形.
解：如图12-124②③④⑤所示均符合要求.
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