也谈函数概念的教学设计
在函数概念的教学中常有学生问到：为什么要规定一对多的对应不属于函数的对应关系呢？
海克尔（E。Haeckel，1843—1919）生物发生学定律告诉我们“个体认知的发生遵循人类认知发展的过程”，就数学教育而言，个体数学理解的发展遵循数学思想的历史发展顺序。数学家和数学教育家也认为个体数学理解的发展遵循数学思想的历史发展，个体对数学概念的认知发展过程与该概念的历史发展过程相似。
那么我们就先从历史的长河中来寻找答案吧，看看函数的概念是如何发展的。
从函数概念的历史发展过程中，我们基本上可以知道以下几个事实：
初中数学的函数定义基本上就是十九世纪最杰出的法国数学家柯西在1821年所著的《解析教程》中，给出的定义：“在某些变量间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变量的值，其他变量的值也随之确定，则将最初的变量称为自变量，其他各个变量称为函数”。
《北师大版义务教育课程标准实验教科书》八年级上册是这样给函数定义的：一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
《人教版义务教育课程标准实验教科书》八年级上册是这样给函数定义的：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。
两者相比较。不难发现在人教版初中教科书中出现“唯一确定”的概念。而北师大版的教材中则没有提出。
高中数学的函数定义基本上是维布伦1930给出的'近代函数定义：“设集合X、Y，如果X中每一个元素x都有Y中唯一确定的元素y与之对应，那么我们就把此对应叫做从集合X到集合Y的映射，记作f：X→Y，或y=f（x）”。映射的特殊情况，从数集到数集的映射就是狄利克雷的函数定义；在这个定义中出现了“唯一确定”这一限制性词语。
北师大版高中数学必修一第二章《函数》定义：给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于A中的任何一数x在集合B中都有唯一确定的数f（x）与之对应，那么就把这个对应f叫做从A到B的一个函数。通常记作：f：A→B或y=f（x）x∈A。其中，x叫做自变量，y叫做函数值。
人教版新课A版必修1第一章《集合与函数概念》中是这样给函数定义的：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作=，．其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域（domain），与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合叫值域（range）。
在多值函数是函数的概念下，多值函数也是需要分拆成若干个单值函数再进行研究的；在函数都是单值函数的概念下，方程确定的隐函数也仍然会遇到多值的情形，还是需要分拆成单值的情形来研究。多值函数或者单值函数这种定义的改变，并没有改变数学问题的实质，只是给数学的初学者带来困惑而已。
我认为在初中函数概念的教学中，北师大版教材的处理更为合理的，不出现“唯一确定”这样的概念，更有利于学生理解。其理由如下，第一、历史上函数概念的初期，也没有“唯一确定”这样的概念，对初中生讲“唯一确定”这个问题，不符合初中生的认知规律。
第二、在函数概念的教学中，规定“一对多”对应的不属于函数的对应，有些类似在二次根式中规定被开方数大于等于零，事实上二者却有很的不同。如果在二次根式中不做“被开方数不能是负数”这样的规定，那么就要回答：什么样的数的平方是负数？等于多少？这样一系列的问题。为了降低难度，我们暂时不去研究这种情况，因此我们规定“二次根式中被开方数不能是负数”。而在函数概念的教学中是为了什么原因做出“一对多”不是函数的规定呢？这样的规定有利于学生理解函数的概念吗？我看恰好相反，有了这个规定学生反而更糊涂了。至于人教版初中教科书中的那两道习题更是有欠考虑了，要做出这两道题无非是让学生死背定义，而这个“唯一确定”的规定并不涉及数学的本质，就是把定义背下来，他又能记住多久呢？教材这样的处理人为地增加了学习的难度。
第三、是否“唯一确定”，并不是数学的本质问题。在早些年出版的教材里，函数的定义里没有“唯一”两个字，因此函数就有单值函数与多值函数的区分，按那种定义，“一对一”、“多对一”“一对多”的对应都属于函数的对应关系。近年出版的教材里，函数的定义里有“唯一”两字，因此函数都是单值的，从这个意义上说，“一对多”的对应关系就不属于函数的对应关系了。
结论：在初中函数概念的教学中，最好是不要出现“唯一确定”的概念，不要人为地增加初中生学习数学的难度。
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