全国大学生数学建模竞赛经典试题
导语：数模参赛者应根据题目要求，完成一篇包括模型的假设、建立和求解、计算方法的设计和计算机实现、结果的分析和检验、模型的改进等方面的论文(即答卷)。竞赛评奖以假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字表述的清晰程度为主要标准。欢迎阅读，仅供参考，更多相关的知识，请关注CNFLA学习网的
经典的数学建模问题：
运用灰色关联模型为我国产业结构的调整和优化提供建议
改革开放以来，中国的产业结构优化都是以经济增长为主要目标，在该目标下所形成的产业结构己经使中国经济保持了近三十年的高速增长。但是，由于忽视了能源与环境目标，过快的经济增长导致了产业结构失衡、能源消耗过渡、环境污染严重等问题。因此，产业结构优化作为促进经济发展的重要手段已不是传统意义所指，结构优化的目标更着重于促进产业持续、健康发展以及产业与自然、社会和谐发展，结构状态和变化趋势符合可持续发展要求，结构的优化和变革促进产业可持续发展能力增强，结构优化政策贯彻可持续发展战略思想等。
基于此结合收集的资料，建立数学模型，解决一下问题。 问题一：建立各产业对我国经济增长影响的定量数学模型。 问题二：定量分析能源消费结构对空气质量的的关系。
问题三：建立数学模型分析未来能源消费的大体趋势。
问题四：结合以上问题结论为我国产业结构的调整和优化提供一些建议。
一、问题分析
问题一 我们发现我国各产业对经济的增长都有一定的作用，通过表 分析我们需要定量分析各产业对我国经济增长影响的大小，于是我们通过建立灰色关联的数学模型计算各产业灰色相对关联度p1,p2,p3,比较其大小发现各产业对我国经济增长的定量影响。
问题二 我们认为SO2排放放映出我国空气质量的大体状况，而无论是煤炭，石油，天然气，电能等能源的消耗都会排放一定量的的SO2，但我们无法准确确定影响大小，于是我们考虑建立灰色关联的数学模型，计算出各能源对SO2排放的影响程度大小，进而确定能源消费结构对空气质量的关系。
问题三 对未来十年的能源消费量和空气质量的预测，建立灰色 GM 预
测模型，为了削弱数据的随机性，保证序列的趋势性，首先对数据进行平滑处理。 将预处理后的数据，代入到灰色模型中，利用最小二乘法，得到时间响应方程。 利用时间响应方程进行递推可以得到各年的预测值，并与真值比较，计算相对误 差。为了保证模型的准确性，对预测值进行后验差检验，计算小误差概率和原始 序列标准差与绝对误差序列比值，并查表对照。运用同样的方法对各种污染物排 放量预测，用 MATLAB 画各种污染物排放量变化趋势，分析空气质量的.
二、模型假设
1、题目所给的数据真实可靠。
2、GDP总量能反映我国的经济总量。
3、SO2可以反映我国空气的质量状况，空气质量状况可在一定程度上反映我国环境状况。 4、煤炭、石油、天然气、电能等能源消耗都对SO2的排放有影响。
四、符号的说明与名词解释
五、模型的建立
问题一
我们运用灰色关联模型解决各产业对我国经济增长影响情况。
灰色关联度，指的是两个系统或两个因素之间关联性大小的量度。目的，是在于寻求系统中各因素之间的主要关系，找出影响目标值的重要因素，从而掌握事物的主要特征，促进和引导系统迅速有效地发展。这些灰色因素是不明确的，我们需要对灰色系统进行分析研究，找到关联性为系统决策提供基础。 按灰色关联理论的要求，我们将各产业能源消费量与经济总量视为一个灰色系统，其中各指标如下：
第一产业能源消费量 第二产业能源消费量 第三产业能源消费量
将影响经济总量的指标作为该系统的若干因素，研究各指标对经济总量的影响，关联度大表示对经济总量影响大，反之对经济总量影响小。 灰色关联动态分析的建模步骤如下
(1)确定反映系统行为特征的参考数列和影响系统行为的比较数列 (2)对参考数列和比较数列进行无量纲化处理
(3)求参考数列与比较数列的灰色关联系数ξ(Xi)
(4)求关联度ri
(5)关联度排序
借助matlab编写程序计算各产业耗能的灰色关联度得以下表格
从灰色关联度的计算结果来看，将经济总量作为系统特征序列时有r3>r2>r1.即对我国经济总量影响程度依次是第三产业、第二产业、第一产业。
问题二
如问题一所建立的.灰色关联数学模型
按灰色关联理论的要求，我们将煤炭、石油、天然气、电能的消耗量与SO2排放量视为一个灰色系统，其中各指标如下： 煤炭的消耗量xk1 石油的消耗量xk2 天然气的消耗量xk3
电能的消耗量xk4
以SO2近几年排放量作为比较数列m1、m2、m3、m4、m5、m6。并对xki和mi进行无量纲化得到wki和zi 。定义wki和zi在k的的关联细数yi(k)为
P为分辨系数我们一般取0.5计算。Wki和zi关联度为
我们将xki 和mi所查找数据做成表格
借助matlab编写程序计算各能源消耗量的灰色关联度得以下表格
从灰色关联度的计算结果来看，将SO2作为系统特征序列时有 r2>r1>r4>r3 .即对SO2排放量影响程度依次是石油、煤炭、电能(水能，核能，风电)、天然气 。 问题三
【2】
用灰色GM模型预测未来十年中国能源消耗：
对于短观测数据序列，由于获取的信息量少，难以发现数据变化规律，若用统计分析方法建模，所作出的预测将不准确。灰色理论是处理少数据、不确定性问题的理论。对此问题，建立灰色预测模型可以得到比较准确的结果。
定义2000 至2009 十年的能源消费总量为原始观测值序列：X0={x0(i)}(i=1,2，…n) 累加生成操作是灰色系统理论中重要的数据处理方法，通过累加生成，任意非负数列、摆动数列都可以转化为非减的递增数列，从而削弱原始数据的随机性，突出其趋势性，累加式如下：
x1(k)=
x(i)(k=1,2，……，n)
0i1
k
生成累加数列为 X1={x1(i)} (i=1,2,……，n) 令Z1为X1的均值数列，即 z1(k)=0.5x1(k)+0.5x1(k-1)，(k=2,3，……，n) 由此定义灰微分方程模型GM(1,1)为
x0(k)+az1(k)=b
z1(2)z1(3)
TT
令YN=(x0(2)，x0(3)，……，x0(n))，u=(a，b)，B=
...
z1(n)11， ...1
T
则GM(1,1)模型可以表示为矩阵方程YN=Bu，参数向量u可用最小二乘法确定。如果BB
T-1T
非奇异，则 u=(BB)BYN。 解得a、b的值之后，可以得到X1的序列的时间响应方程：
-ak
x1(k+1)=(x0(1)-a/b)e+b/a
式中：参数a为发展系数，b为灰色作用量。如时间响应方程能通过精度检验，则可通过累减运算还原进行预测:
x0(k+1)=(x1(k+1)-x1(k)) (k=n,n+1,n+2，……)
我们用以上模型，代入题目给出的数据，得出结果：
0.887k
a=-0.0887，b=138390，x1(k+1)=145531*e-1560157,得到00年至09年的计算结果，与真实数据对比：
图七 能源消耗预测与实际对比图
从图中我们看出此预测模型非常准确，可以用来预测未来十年的能源消耗量：
表7 未来十年能源消耗预测
单位：万吨标准煤
图八 能源消耗预测图
从图中看出能源消耗逐年上升，但是上升速度并没有发生明显变化。
问题四
我国经济发展已进入工业化中期阶段，经济高速发展和经济结构重型化特征使得能源需求强劲增长，给我国的能源供应和环境带来极大挑战。优化能源消费结构，提高能源效率成为应对能源供应压力的关键因素。
通过对以上三个问题的分析讨论我们发现近几年中第三产业对我过经济总量增长的作用是最明显的但是中国作为一个发展中国家，第二产业在我国产业结构中所占的比重仍是最大的。第二产业的能源消耗主要以煤炭石油等化工能源为主，我们通过问题二的分析知道煤炭等化工能源的消耗对我国环境的影响是最大的。通过问题三的分析我们得到在未来几年中我们对煤炭资源的利用应该是减少的。
所以我们应从下面几个方面调整以及优化我国的产业结构：
1、加强对煤炭等化石燃料的监管，改进工艺，提高对化石燃料的利用。 2、大力发展清洁能源替代煤炭等高污染能源。
3、加快经济的转型，逐步减少第二产业在我国产业结构中所占的比重，加快第三产业的发展从而改变能源消费结构，以达到对提高资源利用率和环境改善的目的。 4、加大对科技的投资和对资源的勘探工作，积极寻求国际合作。
六、模型的评价
在此数学模型中我们主要用了灰色关联模型。 优点： 1、对于我们研究的某些问题我们很难找出各因素之间的关系，灰色关联模型为我们提供了一种很好的解决此类问题的方法，去寻求系统中各子系统(或因素)之间的数值关系。
因此，灰色关联度分析对于一个系统发展变化态势提供了量化的度量，非常适合动态历程分析。
2、通过拟合寻找各因素与评价指标的关系时，不容易寻找且工作量大，在灰色关联模型中我们可以通过关联度来解决问题得到综合分析结果。
缺点：
在建立灰色关联模型中很难建立准确的关系，如需得到精确结果我们仍需要找到精确的函数关系。
七、模型的改进
我们可以通过增加样本数据提高分析结果的准确度。如在模型二中，我们不仅可以考虑SO2的排放量，可以增加空气中含氮污染物的量，空气中粉尘的量，也可以不止考虑空气的质量，可增加对土壤，水资源污染程度的检验。
八、参考文献
百度百科 灰色关联分析法
2005到2009年中国环境统计年报 经济生活网 (中国历年GDP数据)
中华人民共和国国家统计局 《中国统计年鉴》 (2005到2009) 《MATLAB 5.x入门与应用》科学出版社 柳承茂改编
附录
Matlab灰色关联代码：
yangben=[ 2549.3 2588.8 2468.1 2321.2 2214.4]; %样本数据
fangzhen=[ 167085.88 183918.64 199441.19 204887.94 215879.49; 46727.41 49924.47 52735.5 53334.99 54889.81; 6483.91 7501.60 9256.76 10783.58 11959.23;
16047.80 17331.29 19074.54 22441.50 23918.47]; %待判数据 [rows,cols]=size(fangzhen); p=0.5; %分辨系数
[m,n]=size(yangben); R=[];
for irow=1:rows yy=fangzhen(irow,:); data=[yy;yangben]; data_gyh1=yangben for i=1:m+1 for j=1:n
data_gyh(i,j)=data(i,j)/data_gyh1(j); end end
for i=2:m+1 for j=1:n
Dij(i-1,j)=abs(data_gyh(1,j)-data_gyh(i,j)); end end
Dijmax=max(max(Dij)); Dijmin=min(min(Dij)); for i=1:m for j=1:n
Lij(i,j)=(Dijmin+p*Dijmax)/(Dij(i,j)+p*Dijmax); end end
LijRowSum=sum(Lij'); for i=1:m
Rij(i)=LijRowSum(i)/n; end
R=[R;Rij]; end R
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