高中数学联赛的常考的知识点
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高中数学联赛的知识点：
常用定理 1、费马点 (I)基本概念
定义：在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。
(1)若三角形ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。
(2)若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。 (II)证明
我们要如何证明费马点呢：
费马点证明图形
(1)费马点对边的张角为120度。
△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1, △CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B 同理可得∠CBP=∠CA1P
由∠PA1B+∠CA1P=60度，得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度 同理,∠APB=120度，∠APC=120度 (2)PA+PB+PC=AA1
将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合，连结PD，则△PDB为等边三角形，所以∠BPD=60度 又∠BPA=120度，因此A、P、D三点在同一直线上，
又∠CPB=∠A1DB=120度，∠PDB=60度，∠PDA1=180度，所以A、P、D、A1四点在同一直线上，故PA+PB+PC=AA1。 (3)PA+PB+PC最短
在△ABC内任意取一点M(不与点P重合)，连结AM、BM、CM，将△BMC以点B为旋转中心旋转60度与△BGA1重合，连结AM、GM、A1G(同上)，则AA1
平面四边形中费马点证明相对于三角型中较为简易，也较容易研究。 (1)在凸四边形ABCD中，费马点为两对角线AC、BD交点P。
费马点
(2)在凹四边形ABCD中，费马点为凹顶点D(P)。 经过上述的推导，我们即得出了三角形中费马点的找法：
当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候，费马点就是这个内角的顶点;如果三个内角都在120度以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。 (III)费马点性质：
费马点
(1)平面内一点P到△ABC三顶点的之和为PA+PB+PC，当点P为费马点时，距离之和最小。 特殊三角形中：
(2).三内角皆小于120°的三角形，分别以 AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.
(3).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求. (4)当△ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合
二、梅涅劳斯定理和塞瓦定理 1、梅涅劳斯定理
梅涅劳斯定理证明
梅涅劳斯(Menelaus)定理(简称梅氏定理)是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边
AF
AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么证明：做平行线即可，过程略 2、角元形式：
(1)第一角元形式的梅涅劳斯定理
FB
BCCD
DOOA
1
如图：若E，F，D三点共线，则
(sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBA/sin∠ABE)=1 即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积 该形式的梅涅劳斯定理也很实用 (2)第二角元形式的梅涅劳斯定理
在平面上任取一点O，且EDF共线，则(sin∠AOF/sin∠FOB)(sin∠BOD/sin∠DOC)(sin∠COA/sin∠AOE)=1。(O不与点A、B、C重合) 三、塞瓦定理 塞瓦定理
在△ABC内任取一点O，
直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 证法简介 (Ⅰ)本题可利用梅涅劳斯定理证明： ∵△ADC被直线BOE所截， ∴ (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ①
而由△ABD被直线COF所截，∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1② ②÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 (Ⅱ)也可以利用面积关系证明
∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③
同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤ ③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 塞瓦定理推论
1.设E是△ABD内任意一点，AE、BE、DE分别交对边于C、G、F，则(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1
因为(BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1，(塞瓦定理)所以 (BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K(K为未知参数)且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K(K为未知参数)又由梅涅劳斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1 所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 2.塞瓦定理角元形式
AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是：
(sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1 由正弦定理及三角形面积公式易证
3.如图，对于圆周上顺次6点A,B,C,D,E,F，直线AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是： (AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1
由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圆弦长与所对圆周角关系易证。 4.还能利用塞瓦定理证三角形三条高交于一点
设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，根据塞瓦定理逆定 理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA)/[(CD*ctgB)]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(AE*ctgB)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。
四、西姆松定理
西姆松定理图示
西姆松定理是一个几何定理。表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。(此线常称为西姆松线)。西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。 西姆松定理说明 相关的结果有：
(1)称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。 (2)两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。
(3)若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。 (4)从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的'充要条件是该点落在三角形的外接圆上。 证明
证明一： △ABC外接圆上有点P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC于D，分别连DE、DF.
易证P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分别共圆，于是∠FDP=∠ACP ①，(∵都是∠ABP的补角) 且∠PDE=∠PCE
② 而∠ACP+∠PCE=180° ③ ∴∠FDP+∠PDE=180°
④ 即F、D、E共线. 反之，当F、D、E共线时，由④→②→③→①可见A、B、P、C共圆.
证明二： 如图，若L、M、N三点共线，连结BP，CP，则因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和
M、P、L、C分别四点共圆，有
∠PBN = ∠PLN = ∠PLM = ∠PCM. 故A、B、P、C四点共圆。
若A、B、P、C四点共圆，则∠PBN = ∠PCM。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四点共圆，有
∠PBN =∠PLN =∠PCM=∠PLM. 故L、M、N三点共线。 相关性质的证明
连AH延长线交圆于G, 连PG交西姆松线与R,BC于Q 如图连其他相关线段
AH⊥BC,PF⊥BC==>AG//PF==>∠1=∠2
A.G.C.P共圆==>∠2=∠3
PE⊥AC,PF⊥BC==>P.E.F.C共圆==>∠3=∠4 ==>∠1=∠4 PF⊥BC ==>PR=RQ
BH⊥AC,AH⊥BC==>∠5=∠6 A.B.G.C共圆==>∠6=∠7 ==>∠5=∠7
AG⊥BC==>BC垂直平分GH ==>∠8=∠2=∠4
∠8+∠9=90,∠10+∠4=90==>∠9=∠10 ==>HQ//DF ==>PM=MH
第二个问，平分点在九点圆上，如图：设O,G,H 分别为三角形ABC的外心，重心和垂心。 则O是,确定九点圆的中点三角形XYZ的垂心，而G还是它的重心。 那么三角形XYZ的外心 O1， 也在同一直线上，并且 HG/GO=GO/GO1=2，所以O1是OH的中点。
三角形ABC和三角形XYZ位似，那么它们的外接圆也位似。两个圆的圆心都在OH上，并且两圆半径比为1:2
所以G是三角形ABC外接圆和三角形XYZ外接圆(九点圆)的
所以H到三角形ABC的外接圆上的连线中点必在三角形DEF的外接圆上.... 五、托勒密定理
1、定理的内容 托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质. 证明
一、(以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。)
在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD 因为△ABE∽△ACD
所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1) 而∠BAC=∠DAE，，∠ACB=∠ADE 所以△ABC∽△AED相似.
BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2) (1)+(2),得
AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 又因为BE+ED≥BD
(仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”) 所以命题得证 复数证明
用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到复数恒等式： (a − b)(c − d) + (a − d)(b − c) = (a − c)(b − d) ，两边取模，运用三角不等式得。 等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。 四点不限于同一平面。 平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。 二、
设ABCD是圆内接四边形。 在弦BC上，圆周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。 在AC上取一点K，使得∠ABK = ∠CBD; 因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。 因此△ABK与△DBC相似，同理也有△ABD ~ △KBC。 因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD; 因此AK·BD = AB·CD，且CK·BD = BC·DA; 两式相加，得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA; 但AK+CK = AC，因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。证毕。 三、
托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和).已知：圆内接四边形ABCD，求证：AC·BD=AB·CD+AD·BC.
证明：如图1，过C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP.得AC：BC=AD：BP，AC·BP=AD·BC ①。又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP.得AC：CD=AB：DP，AC·DP=AB·CD ②。①+②得 AC(BP+DP)=AB·CD+AD·BC.即AC·BD=AB·CD+AD·BC.
推论
1.任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。
2.托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆、 推广
托勒密不等式：四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。 简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模， 得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD 注意：
1.等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。 2.四点不限于同一平面。
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