五年级奥数:完全平方数及答案
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五年级奥数:完全平方数及答案
1.一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数,求此数。
2.求证:四个连续的整数的积加上1,等于一个奇数的平方
3.求证:11,111,1111,这串数中没有完全平方数
4.求满足下列条件的所有自然数:
(1)它是四位数。(2)被22除余数为5。(3)它是完全平方数
5.甲、乙两人合养了n头羊,而每头羊的卖价又恰为n元,全部卖完后,两人分钱方法如下:先由甲拿十元,再由乙拿十元,如此轮流,拿到最后,剩下不足十元,轮到乙拿去。为了平均分配,甲应该补给乙多少元?
完全平方数习题答案:
1.解答:设此自然数为x,依题意可得
x-45=m^2; (1)
x+44=n^2 (2)
(m,n为自然数)
(2)-(1)可得 :
n^2-m^2=89或: (n-m)(n+m)=89
因为n+m>n-m
又因为89为质数,
所以:n+m=89; n-m=1
解之,得n=45。代入(2)得。故所求的自然数是1981。
2.解答:设四个连续的整数为,其中n为整数。欲证
是一奇数的.平方,只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。
证明 设这四个整数之积加上1为m,则
m为平方数
而n(n+1)是两个连续整数的积,所以是偶数;又因为2n+1是奇数,因而n(n+1)+2n+1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。
3.解答:形如的数若是完全平方数,必是末位为1或9的数的平方,即
或在两端同时减去1之后即可推出矛盾。
证明 若,则
因为左端为奇数,右端为偶数,所以左右两端不相等。
若,则
因为左端为奇数,右端为偶数,所以左右两端不相等。
综上所述,不可能是完全平方数。
4.解答:设,其中n,N为自然数,可知N为奇数。
11|N - 4或11|N + 4
或
k = 1
k = 2
k = 3
k = 4
k = 5
所以此自然数为1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。
5.解答:n头羊的总价为元,由题意知元中含有奇数个10元,即完全平方数的十位数字是奇数。如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6。所以,的末位数字为6,即乙最后拿的是6元,从而为平均分配,甲应补给乙2元。
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