初二数学知识点：三角形的性质
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三角形
1、三角形的概念
由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 2、三角形中的主要线段
(1)三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
(2)在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
(3)从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线(简称三角形的高)。 3、三角形的稳定性
三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。 4、三角形的特性与表示
三角形有下面三个特性： (1)三角形有三条线段
(2)三条线段不在同一直线上 三角形是封闭图形 (3)首尾顺次相接
三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”。
5、三角形的分类
三角形按边的关系分类如下： 不等边三角形
三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形
等边三角形 三角形按角的关系分类如下：
直角三角形(有一个角为直角的三角形)
三角形 锐角三角形(三个角都是锐角的三角形) 斜三角形
钝角三角形(有一个角为钝角的三角形)
把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。
6、三角形的三边关系定理及推论
(1)三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。 推论：三角形的两边之差小于第三边。 (2)三角形三边关系定理及推论的作用： ①判断三条已知线段能否组成三角形 ②当已知两边时，可确定第三边的范围。 ③证明线段不等关系。 7、三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
推论：
①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
注：在同一个三角形中：等角对等边;等边对等角;大角对大边;大边对大角。 8、三角形的面积 三角形的面积=
1
×底×高 2
全等三角形
1、全等三角形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形。
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。
2、全等三角形的表示和性质
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。
注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3、三角形全等的判定 三角形全等的判定定理：
(1)边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS”)
(2)角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的'两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA”)
(3)边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS”)。 直角三角形全等的判定：
对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理(斜边、直角边定理)：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”)
4、全等变换
只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。 全等变换包括一下三种：
(1)平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。 (2)对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。
(3)旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。
轴对称
[轴对称图形]
如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，•这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.
有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴. [轴对称]
有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，•那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.两个图形关于直线对称也叫做轴对称. [图形轴对称的性质]
如果两个图形成轴对称，•那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. [轴对称与轴对称图形的区别]
轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，•成轴对称的两个图形是全等形;轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称. [线段的垂直平分线]
(1)经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，•叫做这条线段的垂直平分线(或线段的中垂线).
(2)线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;反过来，•与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合.
[轴对称变换]
由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.•
成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到. [轴对称变换的性质]
(1)经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样
(2)•经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点.
(3)连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分. [作一个图形关于某条直线的轴对称图形]
(1)作出一些关键点或特殊点的对称点.
(2)按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形. [关于坐标轴对称]
点P(x，y)关于x轴对称的点的坐标是(x，-y) 点P(x，y)关于y轴对称的点的坐标是(-x，y) [关于原点对称]
点P(x，y)关于原点对称的点的坐标是(-x，-y) [关于坐标轴夹角平分线对称]
点P(x，y)关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y=x对称的点的坐标是(y，x) 点P(x，y)关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y= -x对称的点的坐标是(-y，-x) [关于平行于坐标轴的直线对称]
点P(x，y)关于直线x=m对称的点的坐标是(2m-x，y); 点P(x，y)关于直线y=n对称的点的坐标是(x，2n-y); [等腰三角形]
有两条边相等的三角形是等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边.两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角. [等腰三角形的性质]
性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合. 特别的：(1)等腰三角形是轴对称图形.
(2)等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等. [等腰三角形的判定定理]
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”). 特别的：
(1)有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形. (2)有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形. (3)有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形. (4)有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形. [利用“三角形奠基法”作图]
根据已知条件先作出一个与所求图形相关的三角形，然后再以这个图形为基础，作出所求的三角形. [等边三角形]
三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形. [等边三角形的性质]
等边三角形的三个内角都相等，•并且每一个内角都等于60°
[等边三角形的判定方法]
(1)三条边都相等的三角形是等边三角形; (2)三个角都相等的三角形是等边三角形; (3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. [角平分线的性质]
MACB
在角平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵OP平分∠AOB，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N， ∴PM=PN [角平分线的判定]
到角的两边距离相等的点在角的平分线上. ∵PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM=PN ∴OP平分∠AOB
[三角形的角平分线的性质]
三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等.
O
NAM
CBO
N
等腰三角形的判定：等角对等边。
等边三角形的三个内角相等，等于60°
等边三角形的判定： 三个角都相等的三角形是等腰三角形。有一个角是60°的
等腰三角形是等边三角形有两个角是60°的三角形是等边三角形。
直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
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