四年级常考的奥数题:剩余定理

时间:2021-01-22 09:29:59 奥数题 我要投稿

四年级常考的奥数题:剩余定理

  导语:我们最好把自己的生命看做前人生命的延续,是现在共同生命的一部分,同时也后人生命的开端。如此延续下去,科学就会一天比一天灿烂,社会就会一天比一天更美好。下面是小编为大家整理的:奥数题。希望对大家有所帮助,欢迎阅读,仅供参考,更多相关的知识,请关注CNFLA学习网!

  小学奥数题【例一】

  民间传说着一则故事——“韩信点兵”.

  秦朝末年,楚汉相争.一次,韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战.苦战一场,楚军不敌,败退回营,汉军也死伤四五百人,于是韩信整顿兵马也返回大本营.当行至一山坡,忽有后军来报,说有楚军骑兵追来.只见远方尘土飞扬,杀声震天.汉军本来已十分疲惫,这时队伍大哗.韩信兵马到坡顶,见来敌不足五百骑,便急速点兵迎敌.他命令士兵3人一排,结果多出2名;接着命令士兵5人一排,结果多出3名;他又命令士兵7人一排,结果又多出2名.韩信马上向将士们宣布:我军有1073名勇士,敌人不足五百,我们居高临下,以众击寡,一定能打败敌人.汉军本来就信服自己的统帅,这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”.于是士气大振.一时间旌旗摇动,鼓声喧天,汉军步步进逼,楚军乱作一团.交战不久,楚军大败而逃.

  首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945(注:因为5、9、13、17为两两互质的整数,故其最小公倍数为这些数的积),然後再加3,得9948(人).

  在一千多年前的《孙子算经》中,有这样一道算术题:

  “今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”按照今天的话来说:一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求这个数.

  这样的问题,也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题,也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解条件和解的方法被称为“中国剩余定理”,这是由中国人首先提出的.

  ① 有一个数,除以3余2,除以4余1,问这个数除以12余几?

  除以3余2的数有:

  2, 5, 8, 11,14, 17, 20, 23….

  它们除以12的余数是:

  2,5,8,11,2,5,8,11,….

  除以4余1的数有:

  1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29,….

  它们除以12的余数是:

  1, 5, 9, 1, 5, 9,….

  一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中,只有5是共同的,因此这个数除以12的'余数是5.

  如果我们把①的问题改变一下,不求被12除的余数,而是求这个数.很明显,满足条件的数是很多的,它是 5+12×整数,

  整数可以取0,1,2,…,无穷无尽.事实上,我们首先找出5后,注意到12是3与4的最小公倍数,再加上12的整数倍,就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2,除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件,我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并,就可找到答案.

  ②一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求符合条件的最小数.

  先列出除以3余2的数:

  2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26,…,

  再列出除以5余3的数:

  3, 8, 13, 18, 23, 28,….

  这两列数中,首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8+15×整数,列出这一串数是8, 23, 38,…,再列出除以7余2的数 2, 9, 16, 23, 30,…,

  就得出符合题目条件的最小数是23.

  事实上,我们已把题目中三个条件合并成一个:被105除余23.

  那么韩信点的兵在1000-1500之间,应该是105×10+23=1073人

  中国有一本数学古书「孙子算经」也有类似的问题:「今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何?」

  答曰:「二十三」

  术曰:「三三数之剩二,置一百四十,五五数之剩三,置六十三,七七数之剩二,置三十,并之,得二百三十三,以二百一十减之,即得.凡三三数之剩一,则置七十,五五数之剩一,则置二十一,七七数之剩一,则置十五,即得.」

  孙子算经的作者及确实著作年代均不可考,不过根据考证,著作年代不会在晋朝之后,以这个考证来说上面这种问题的解法,中国人发现得比西方早,所以这个问题的推广及其解法,被称为中国剩余定理.中国剩余定理(Chinese Remainder Theorem)在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位.

  简单扼要总结:

  1.算两两数之间的能整除数

  2.算三个数的能整除数

  3.用1中的三个整除数之和减去2中的整除数之差(有时候是倍数)

  4计算结果即可

  韩信带1500名兵士打仗,战死四五百人,站3人一排,多出2人;站5人一排,多出4人;站7人一排,多出6人.韩信马上说出人数:1049

  如多一人,即可凑整.幸存人数应在1000~1100人之间,即得出:

  3乘5乘7乘10减1=1049(人)

  小学奥数题【例二】

  有一个年级的同学,每9人一排多5人,每7人一排多1人, 每5人一排多2人,问这个年级至少有多少人?

  求数学高手详细解答!剩余定理是什么意思?

  5 和 9 的公倍数依次是 45、90、135、180、225 ……

  这些公倍数中,被7除余1的数是 225

  9 和 7 的公倍数依次是 63、126、189、252……

  这其中,被5除余2的是 252

  5 和 7 的公倍数是 35、70、105、140、……

  其中被9除余5的数是 140

  把以上 225 252 140 三个数相加,求得

  225 + 252 + 140 = 617

  5 7 9 三个数的最小公倍数是 5*7*9=315

  617-315 = 302

  因此 302 就是这个年级至少人数。

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