高二数学知识点：复合函数的应用

高二数学知识点：复合函数的应用

　　在日常的学习中，是不是经常追着老师要知识点？知识点也可以通俗的理解为重要的内容。掌握知识点有助于大家更好的学习。以下是小编精心整理的高二数学知识点：复合函数的应用，希望对大家有所帮助。

　　复合函数的应用

　　1.复合函数定义域

　　若函数y=f（u）的定义域是B，u=g（x）的定义域是A，则复合函数y=f[g（x）]的定义域是

　　D={x|x∈A，且g（x）∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。

　　求函数的定义域主要应考虑以下几点：

　　（1）当为整式或奇次根式时，R的值域；

　　（2）当为偶次根式时，被开方数不小于0（即≥0）；

　　（3）当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0；

　　（4）当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（如，中）。

　　（5）当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的`交集。

　　（6）分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。

　　（7）由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求

　　（8）对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。

　　（9）对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。

　　（10）三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。

　　注：设y=f（u）的最小正周期为T1，μ=φ（x）的最小正周期为T2，则y=f（μ）的最小正周期为T1xT2，任一周期可表示为kxT1xT2（k属于R+）

　　2.复合函数单调性

　　依y=f（u），μ=φ（x）的单调性来决定。即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”。

　　（1）求复合函数的定义域；

　　（2）将复合函数分解为若干个常见函数（一次、二次、幂、指、对函数）；

　　（3）判断每个常见函数的单调性；

　　（4）将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；

　　（5）求出复合函数的单调性。

　　复合函数概念：

　　一般地，对于两个函数y=f（u）和u=g（x），如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f（u）和u=g（x）的复合函数，记做y=f（g（x））。简而言之，所谓复合函数就是由一些初等函数复合而成的函数。

　　我们现在所学的初等函数包括：一次函数，二次函数，反比例函数，幂函数，指数函数，对数函数

　　以下均为复合函数，复合函数是由“主体函数”和“次级函数”构成，具体见下面举例：

　　1.f（x）=2^3x+5，这个复合函数的主体函数是指数函数，次级函数是一次函数，所以是由f（t）=2^t和t=3x+5复合而成的

　　2.f（x）=ln（x²-2x-3），这个复合的主体函数是对数函数，次级函数是二次函数，所以是由f（t）=lnt和t= x²-2x-3复合而成

　　3.f（x）=（lnx）²，这个复合函数的主体函数是幂函数，次级函数是对数函数，所以是由f（t）=t²和t=lnx复合而成的

　　备注：

　　1.复合函数通常是由两个基本初等函数复合而成，相当于将其中一个初等函数（次级函数）镶嵌在另外一个初等函数（主体函数）中

　　2.两个初等函数进行“加、减、乘、除”之后，组成的函数不是复合函数。例如f（x）=x²·lnx，这个函数是幂函数跟对数函数相乘，所以这不是复合函数

　　3.无论遇到何种函数，首先要确定函数的定义域，这是学习函数最基本的原则。

　　4.次级函数的值域t的范围与主体函数的定义域f（t）的范围是一致的

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