高考数学常考题型：平面向量

加法

2.三角形法则

减法

,

乘

向

量

2.>0时,同向;

<0时,异向;

=0时,.

量

的

数

量

积

1.时，

2.

　　4.重要定理、公式

　　(1)平面向量基本定理?

　　e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，

　　λ2，使a=λ1e1+λ2e2.?

　　(2)两个向量平行的充要条件?

　　a∥b

　　a=λb(b≠0)

　　x1y2-x2y1=O.?

　　(3)两个向量垂直的充要条件?

　　a⊥b

　　a·b=O

　　x1x2+y1y­2=O.?

　　(4)线段的定比分点公式?

　　设点P分有向线段

　　所成的比为λ，即

　　=λ

　　，则?

　　=

　　+

　　(线段的定比分点的向量公式)?

　　(线段定比分点的坐标公式)?

　　当λ=1时，得中点公式：?

　　=

　　(

　　+

　　)或

　　(5)平移公式

　　设点P(x，y)按向量a=(h，k)平移后得到点P′(x′，y′)，

　　则

　　=

　　+a或

　　曲线y=f(x)按向量a=(h，k)平移后所得的曲线的函数解析式为：

　　y-k=f(x-h)

　　(6)正、余弦定理?

　　正弦定理：

　　余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，?

　　b2=c2+a2-2cacosB，?

　　c2=a2+b2-2abcosC.?

　　(7)三角形面积计算公式：

　　设△ABC的三边为a，b，c，其高分别为ha，hb，hc，半周长为P，外接圆、内切圆的半径为R，r.

　　①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ②S△=Pr③S△=abc/4R

　　④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA ⑤S△=

　　[海伦公式]

　　⑥S△=1/2(b+c-a)ra[如下图]=1/2(b+a-c)rc=1/2(a+c-b)rb

　　[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心.

　　如图：

　　图1中的I为S△ABC的内心， S△=Pr

　　图2中的I为S△ABC的一个旁心，S△=1/2(b+c-a)ra

　　附：三角形的五个“心”;

　　重心：三角形三条中线交点.

　　外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.

　　内心：三角形三内角的平分线相交于一点.

　　垂心：三角形三边上的高相交于一点.

　　旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.

　　⑸已知⊙O是△ABC的内切圆，若BC=a，AC=b，AB=c [注：s为△ABC的半周长,即

　　] 则：①AE=

　　=1/2(b+c-a) ②BN=

　　=1/2(a+c-b) ③FC=

　　=1/2(a+b-c)

　　综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边(如图4).

　　特例：已知在Rt△ABC，c为斜边，则内切圆半径r=

　　(如图3). ⑹在△ABC中，有下列等式成立

　　. 证明：因为

　　所以

　　，所以

　　，

　　结论! ⑺在△ABC中，D是BC上任意一点，则

　　. 证明：在△ABCD中，由余弦定理，有

　　① 在△ABC中，由余弦定理有

　　②，②代入①，化简

　　可得，

　　(斯德瓦定理) ①若AD是BC上的中线，

　　; ②若AD是∠A的平分线，

　　，其中

　　为半周长; ③若AD是BC上的高，

　　，其中

　　为半周长.

　　⑻△ABC的判定：

　　△ABC为直角△

　　∠A + ∠B =

　　<

　　△ABC为钝角△

　　∠A + ∠B<

　　>

　　△ABC为锐角△

　　∠A + ∠B>

　　附：证明：

　　，得在钝角△ABC中，

　　⑼平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.

　　定比分点

　　定比分点公式(向量P1P=λ•向量PP2)

　　设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ，使 向量P1P=λ•向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。

　　若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有

　　OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)

　　x=(x1+λx2)/(1+λ),

　　y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分点坐标公式)

　　我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式

　　三点共线定理

　　若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线

　　三角形重心判断式

　　在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心

　　[编辑本段]向量共线的重要条件

　　若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。

　　a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。

　　零向量0平行于任何向量。

　　[编辑本段]向量垂直的充要条件

　　a⊥b的充要条件是 a•b=0。

　　a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0。

　　零向量0垂直于任何向量.

　　设a=(x，y)，b=(x'，y')。

　　1、向量的加法

　　向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

　　AB+BC=AC。

　　a+b=(x+x'，y+y')。

　　a+0=0+a=a。

　　向量加法的运算律：

　　交换律：a+b=b+a;

　　结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

　　2、向量的减法

　　如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0

　　AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”

　　a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').

　　3、数乘向量

　　实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。

　　当λ>0时，λa与a同方向;

　　当λ<0时，λa与a反方向;

　　当λ=0时，λa=0，方向任意。

　　当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

　　注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

　　实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

　　当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;

　　当∣λ∣<1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。

　　数与向量的乘法满足下面的运算律

　　结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。

　　向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.

　　数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.

　　数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

　　4、向量的数量积

　　定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π

　　定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a•b。若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉;若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。

　　向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'。

　　向量的数量积的运算律

　　a•b=b•a(交换律);

　　(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律);

　　(a+b)•c=a•c+b•c(分配律);

　　向量的数量积的性质

　　a•a=|a|的平方。

　　a⊥b 〈=〉a•b=0。

　　|a•b|≤|a|•|b|。

　　向量的数量积与实数运算的主要不同点

　　1、向量的数量积不满足结合律，即：(a•b)•c≠a•(b•c);例如：(a•b)^2≠a^2•b^2。

　　2、向量的数量积不满足消去律，即：由 a•b=a•c (a≠0)，推不出 b=c。

　　3、|a•b|≠|a|•|b|

　　4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。

　　5、向量的向量积

　　定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a，b〉;a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。

　　向量的向量积性质：

　　∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。

　　a×a=0。

　　a‖b〈=〉a×b=0。

　　向量的向量积运算律

　　a×b=-b×a;

　　(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);

　　(a+b)×c=a×c+b×c.

　　注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。

　　6.向量的三角形不等式

　　1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;

　　① 当且仅当a、b反向时，左边取等号;

　　② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。

　　2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。

　　① 当且仅当a、b同向时，左边取等号;

　　② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。

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