初中常考的公约数的知识点

初中常考的公约数的知识点

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　　公约数

　　能够整除一个整数的整数称为其的约数(如5是10的约数);

　　能够被一个整数整除的整数称为其的倍数(如10是5的倍数);

　　如果一个数既是数A的约数，又是数B的`约数，称为A,B的公约数，A,B的公约数中最大的一个(可以包括AB自身)称为AB的最大公约数[1]

　　定义

　　如果有一个自然数a能被自然数b整除，则称a为b的倍数，b为a的约数。几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个公约数，称为这几个自然数的最大公约数。

　　例： 在2、4、6中，2就是2，4，6的最大公约数。

　　辗转相除法使用到的原理很聪明也很简单，假设用f(x, y)表示x，y的.最大公约数，取k = x/y，b = x%y，则x = ky + b，如果一个数能够同时整除x和y，则必能同时整除b和y;而能够同时整除b和y的数也必能同时整除x和y，即x和y的公约数与b和y的公约数是相同的，其最大公约数也是相同的，则有f(x, y)= f(y, x%y)(y > 0)，如此便可把原问题转化为求两个更小数的最大公约数，直到其中一个数为0，剩下的另外一个数就是两者最大的公约数。

　　例如，12和30的公约数有：1、2、3、6，其中6就是12和30的最大公约数。

　　其方法是用较大的数除以较小的数，上面较小的除数和得出的余数构成新的一对数，继续做上面的除法，直到出现能够整除的两个数，其中较小的数(即除数)就是最大公约数。以求288和123的最大公约数为例，操作如下：

　　288÷123=2余42

　　123÷42=2余39

　　42÷39=1余3

　　39÷3=13

　　所以3就是288和123的最大公约数。

　　性质

　　重要性质：gcd(a,b)=gcd(b,a) (交换律)

　　gcd(-a,b)=gcd(a,b)

　　gcd(a,a)=|a|

　　gcd(a,0)=|a|

　　gcd(a,1)=1

　　gcd(a,b)=gcd(b, a mod b)

　　gcd(a,b)=gcd(b, a-b)

　　如果有附加的一个自然数m,

　　则: gcd(ma,mb)=m * gcd(a,b) (分配律)

　　gcd(a+mb ,b)=gcd(a,b)

　　如果m是a和b的最大公约数，

　　则： gcd(a/m ,b/m)=gcd(a,b)/m

　　在乘法函数中有：

　　gcd(ab,m)=gcd(a,m) * gcd(b,m)

　　两个整数的最大公约数主要有两种寻找方法：

　　* 两数各分解质因子，然后取出同样有的项乘起来

　　* 辗转相除法(扩展版)

　　和最小公倍数(lcm)的关系：

　　gcd(a, b) * lcm(a, b) = ab

　　a与b有最大公约数，但不一定有最小公约数

　　两个整数的最大公因子可用于计算两数的.最小公倍数，或分数化简成最简分数。

　　两个整数的最大公因子和最小公倍数中存在分配律：

　　* gcd(a, lcm(b, c)) = lcm(gcd(a, b), gcd(a, c))

　　* lcm(a, gcd(b, c)) = gcd(lcm(a, b), lcm(a, c))

　　在坐标里，将点(0, 0)和(a, b)连起来，通过整数坐标的点的数目(除了(0, 0)一点之外)就是gcd(a, b)。

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