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高二数学关于数列的排列组合知识点
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排列组合二项定理
考试内容:
分类计数原理与分步计数原理.
排列.排列数公式.
组合.组合数公式.组合数的两个性质.
二项式定理.二项展开式的性质.
考试要求:(1)掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.(2)理解排列的意义,掌握排列数计算公式,并能用它解决一些简单的应用问题.(3)理解组合的意义,掌握组合数计算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简单的应用问题.(4)掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们计算和证明一些简单的问题.
排列组合二项定理知识要点
一、两个原理.
1. 乘法原理、加法原理.
2. 可以有重复元素的排列.
从m个不同元素中,每次取出n个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序排成一排,那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个,所以从m个不同元素中,每次取出n个元素可重复排列数m·m·… m = mn.. 例如:n件物品放入m个抽屉中,不限放法,共有多少种不同放法? (解:
种)
3.计数原理知识点
①乘法原理:N=n1·n2·n3·…nM (分步) ②加法原理:N=n1+n2+n3+…+nM (分类)
二、排列.
1. ⑴对排列定义的理解.
定义:从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
⑵相同排列.
如果;两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序也必须完全相同.
⑶排列数.
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列,称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数,用符号
表示.
(4)排列(有序)与组合(无序)
Anm=n(n-1)(n-2)(n-3)…(n-m+1)=n!/(n-m)! Ann =n!
Cnm = n!/(n-m)!m!
Cnm= Cnn-m Cnm+Cnm+1= Cn+1m+1 k•k!=(k+1)!-k!
(5)排列数公式:
注意:
规定0! = 1
规定
2. 含有可重元素的排列问题.
对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集S有k个不同元素a1,a2,…...an其中限重复数为n1、n2……nk,且n = n1+n2+……nk , 则S的排列个数等于
. 例如:已知数字3、2、2,求其排列个数
又例如:数字5、5、5、求其排列个数?其排列个数
.
三、组合.
1. ⑴组合:从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
⑵组合数公式:
⑶两个公式:①
②
①从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素,因此从n个不同元素中取出 n-m个元素的方法是一一对应的,因此是一样多的就是说从n个不同元素中取出n-m个元素的唯一的一个组合.
(或者从n+1个编号不同的小球中,n个白球一个红球,任取m个不同小球其不同选法,分二类,一类是含红球选法有
一类是不含红球的选法有
) ②根据组合定义与加法原理得;在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时,对于某一元素,只存在取与不取两种可能,如果取这一元素,则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素,所以有C
,如果不取这一元素,则需从剩余n个元素中取出m个元素,所以共有C
种,依分类原理有
.
⑷排列与组合的联系与区别.
联系:都是从n个不同元素中取出m个元素.
区别:前者是“排成一排”,后者是“并成一组”,前者有顺序关系,后者无顺序关系.
⑸①几个常用组合数公式
②常用的证明组合等式方法例.
i. 裂项求和法. 如:
(利用
)
ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.
v. 递推法(即用
递推)如:
. vi. 构造二项式. 如:
证明:这里构造二项式
其中
的系数,左边为
,而右边
四、排列、组合综合.
1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型:
①直接法. ②排除法.
③捆绑法:在特定要求的条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”,例如,一般地,n个不同元素排成一列,要求其中某
个元素必相邻的排列有
个.其中
是一个“整体排列”,而
则是“局部排列”. 又例如①有n个不同座位,A、B两个不能相邻,则有排列法种数为
. ②有n件不同商品,若其中A、B排在一起有
. ③有n件不同商品,若其中有二件要排在一起有
. 注:①③区别在于①是确定的座位,有
种;而③的商品地位相同,是从n件不同商品任取的2个,有不确定性.
④插空法:先把一般元素排列好,然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中,此法主要解决“元素不相邻问题”.
例如:n个元素全排列,其中m个元素互不相邻,不同的排法种数为多少?
(插空法),当n – m+1≥m, 即m≤
时有意义.
⑤占位法:从元素的特殊性上讲,对问题中的特殊元素应优先排列,然后再排其他一般元素;从位置的特殊性上讲,对问题中的特殊位置应优先考虑,然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.
⑥调序法:当某些元素次序一定时,可用此法.解题方法是:先将n个元素进行全排列有
种,
个元素的全排列有
种,由于要求m个元素次序一定,因此只能取其中的某一种排法,可以利用除法起到去调序的作用,即若n个元素排成一列,其中m个元素次序一定,共有
种排列方法.
例如:n个元素全排列,其中m个元素顺序不变,共有多少种不同的排法?
解法一:(逐步插空法)(m+1)(m+2)…n = n!/ m!;解法二:(比例分配法)
. ⑦平均法:若把kn个不同元素平均分成k组,每组n个,共有
. 例如:从1,2,3,4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法?有
(平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了)又例如将200名运动员平均分成两组,其中两名种子选手必在一组的概率是多少? (
) 注意:分组与插空综合. 例如:n个元素全排列,其中某m个元素互不相邻且顺序不变,共有多少种排法?有
,当n – m+1 ≥m, 即m≤
时有意义.
⑧隔板法:常用于解正整数解组数的问题.
例如:
的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列,在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板,把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为
显然
,故(
)是方程的一组解.反之,方程的任何一组解
,对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式(如图所示)故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数
. 注意:若为非负数解的x个数,即用
中
等于
,有
,进而转化为求a的正整数解的个数为
. ⑨定位问题:从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内,并且都排在某r个指定位置则有
.
例如:从n个不同元素中,每次取出m个元素的排列,其中某个元素必须固定在(或不固定在)某一位置上,共有多少种排法?
固定在某一位置上:
;不在某一位置上:
或
(一类是不取出特殊元素a,有
,一类是取特殊元素a,有从m-1个位置取一个位置,然后再从n-1个元素中取m-1,这与用插空法解决是一样的)
⑩指定元素排列组合问题.
i. 从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列(或组合),规定某r个元素都包含在内 。先C后A策略,排列
;组合
. ii. 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列(或组合),规定某r个元素都不包含在内。先C后A策略,排列
;组合
. iii 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列(或组合),规定每个排列(或组合)都只包含某r个元素中的s个元素。先C后A策略,排列
;组合
.
II. 排列组合常见解题策略:
①特殊元素优先安排策略;②合理分类与准确分步策略;③排列、组合混合问题先选后排的策略(处理排列组合综合性问题一般是先选元素,后排列);④正难则反,等价转化策略;⑤相邻问题插空处理策略;
⑥不相邻问题插空处理策略;⑦定序问题除法处理策略;⑧分排问题直排处理的策略;⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略;⑩构造模型的策略.
2.排列组合混合题的解题原则:先选后排,先分再排
排列组合题的主要解题方法:优先法:以元素为主,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素. 以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置.
捆绑法(集团元素法,把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑)
插空法(解决相间问题) 间接法和去杂法等等
在求解排列与组合应用问题时,应注意:
(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题;
(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理;
(3)分析题目条件,避免“选取”时重复和遗漏;
(4)列出式子计算和作答.
经常运用的数学思想是:
①分类讨论思想;②转化思想;③对称思想.
3. 组合问题中分组问题和分配问题.
①均匀不编号分组:将n个不同元素分成不编号的m组,假定其中r组元素个数相等,不管是否分尽,其分法种数为
(其中A为非均匀不编号分组中分法数).如果再有K组均匀分组应再除以
. 例:10人分成三组,各组元素个数为2、4、4,其分法种数为
.若分成六组,各组人数分别为1、1、2、2、2、2,其分法种数为
②非均匀编号分组: n个不同元素分组,各组元素数目均不相等,且考虑各组间的顺序,其分法种数为
例:10人分成三组,各组人数分别为2、3、5,去参加不同的劳动,其安排方法为:
种. 若从10人中选9人分成三组,人数分别为2、3、4,参加不同的劳动,则安排方法有
种 ③均匀编号分组:n个不同元素分成m组,其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序,其分法种数为
. 例:10人分成三组,人数分别为2、4、4,参加三种不同劳动,分法种数为
④非均匀不编号分组:将n个不同元素分成不编号的m组,每组元素数目均不相同,且不考虑各组间顺序,不管是否分尽,其分法种数为
…
例:10人分成三组,每组人数分别为2、3、5,其分法种数为
若从10人中选出6人分成三组,各组人数分别为1、2、3,其分法种数为
.
五、二项式定理.
1.二项式定理知识点:
①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an-1b1+ Cn2an-2b2+ Cn3an-3b3+…+ Cnran-rbr+…+ Cn n-1abn-1+ Cnnbn
特别地:(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn
②主要性质和主要结论:对称性Cnm=Cnn-m
最大二项式系数在中间。(要注意n为奇数还是偶数,答案是中间一项还是中间两项)
所有二项式系数的和:Cn0+Cn1+Cn2+ Cn3+ Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n
奇数项二项式系数的和=偶数项而是系数的和
Cn0+Cn2+Cn4+ Cn6+ Cn8+…=Cn1+Cn3+Cn5+ Cn7+ Cn9+…=2n -1
③通项为第r+1项: Tr+1= Cnran-rbr 作用:处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。
2.二项式定理的应用:
解决有关近似计算、整除问题,运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。
3.注意二项式系数与项的系数(字母项的系数,指定项的系数等,指运算结果的系数)的区别,在求某几项的系数的和时注意赋值法的应用。
4. ⑴二项式定理:
.
展开式具有以下特点:
① 项数:共有
项; ② 系数:依次为组合数
③ 每一项的次数是一样的,即为n次,展开式依a的降幕排列,b的升幕排列展开.
⑵二项展开式的通项.
展开式中的第
项为:
.
⑶二项式系数的性质.
①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等;
②二项展开式的中间项二项式系数最大.
I. 当n是偶数时,中间项是第
项,它的二项式系数
最大; II. 当n是奇数时,中间项为两项,即第
项和第
项,它们的二项式系数
最大.
③系数和:
附:一般来说
为常数)在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二求解. 当
时,一般采用解不等式组
的系数或系数的绝对值)的办法来求解. ⑷如何来求
展开式中含
的系数呢?其中
且
把
视为二项式,先找出含有
的项
,另一方面在
中含有
的项为
,故在
中含
的项为
.其系数为
.
5. 近似计算的处理方法.
当a的绝对值与1相比很小且n不大时,常用近似公式
,因为这时展开式的后面部分
很小,可以忽略不计。类似地,有
但使用这两个公式时应注意a的条件,以及对计算精确度的要求.
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