高二数学平面向量的性质及定理
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平面向量
考试内容：向量.向量的加法与减法.实数与向量的积.平面向量的坐标表示.线段的定比分点.平面向量的数量积.平面两点间的距离、平移.
考试要求：(1)理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.(2)掌握向量的加法和减法.(3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.(6)掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用掌握平移公式.
平面向量知识要点
1.本章知识网络结构
?
2.向量的概念?
(1)向量的基本要素：大小和方向.?(2)向量的表示：几何表示法
;字母表示：a;
坐标表示法 a=xi+yj=(x，y).?
(3)向量的长度：即向量的大小，记作|a|.?
(4)特殊的向量：零向量a=O
|a|=O.?单位向量aO为单位向量
|aO|=1.? (5)相等的向量：大小相等，方向相同?(x1，y1)=(x2，y2)
(6) 相反向量：a=-b
b=-a
a+b=0
(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的.向量，称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量.?
3.向量的运算?
| 运算类型 | 几何方法 | 坐标方法 | 运算性质 |
|
向量的
加法 |
1.平行四边形法则
2.三角形法则 |
|
|
|
向量的
减法 |
三角形法则 |
, |
|
|
数
乘 向 量 |
1.是一个向量,满足:
2.>0时,同向; <0时,异向; =0时,. |
|
|
|
向
量 的 数 量 积 |
是一个数
1.时， . 2. |
|
4.重要定理、公式
(1)平面向量基本定理?
e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，
λ2，使a=λ1e1+λ2e2.?
(2)两个向量平行的充要条件?
a∥b
a=λb(b≠0)
x1y2-x2y1=O.?
(3)两个向量垂直的充要条件?
a⊥b
a·b=O
x1x2+y1y2=O.?
(4)线段的定比分点公式?
设点P分有向线段
所成的比为λ，即
=λ
，则?
=
+
(线段的定比分点的向量公式)?
(线段定比分点的坐标公式)?
当λ=1时，得中点公式：?
=
(
+
)或
(5)平移公式
设点P(x，y)按向量a=(h，k)平移后得到点P′(x′，y′)，
则
=
+a或
曲线y=f(x)按向量a=(h，k)平移后所得的曲线的函数解析式为：
y-k=f(x-h)
(6)正、余弦定理?
正弦定理：
余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，?
b2=c2+a2-2cacosB，?
c2=a2+b2-2abcosC.?
(7)三角形面积计算公式：
设△ABC的三边为a，b，c，其高分别为ha，hb，hc，半周长为P，外接圆、内切圆的半径为R，r.
①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ②S△=Pr③S△=abc/4R
④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA ⑤S△=
[海伦公式]
⑥S△=1/2(b+c-a)ra[如下图]=1/2(b+a-c)rc=1/2(a+c-b)rb
[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心.
如图：
图1中的I为S△ABC的内心， S△=Pr
图2中的I为S△ABC的一个旁心，S△=1/2(b+c-a)ra
附：三角形的五个“心”;
重心：三角形三条中线交点.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.
内心：三角形三内角的平分线相交于一点.
垂心：三角形三边上的高相交于一点.
旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.
⑸已知⊙O是△ABC的内切圆，若BC=a，AC=b，AB=c [注：s为△ABC的半周长,即
] 则：①AE=
=1/2(b+c-a) ②BN=
=1/2(a+c-b) ③FC=
=1/2(a+b-c)
综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边(如图4).
特例：已知在Rt△ABC，c为斜边，则内切圆半径r=
(如图3). ⑹在△ABC中，有下列等式成立
. 证明：因为
所以
，所以
，
结论! ⑺在△ABC中，D是BC上任意一点，则
. 证明：在△ABCD中，由余弦定理，有
① 在△ABC中，由余弦定理有
②，②代入①，化简
可得，
(斯德瓦定理) ①若AD是BC上的中线，
; ②若AD是∠A的平分线，
，其中
为半周长; ③若AD是BC上的高，
，其中
为半周长.
⑻△ABC的判定：
△ABC为直角△
∠A + ∠B =
<
△ABC为钝角△
∠A + ∠B<
>
△ABC为锐角△
∠A + ∠B>
附：证明：
，得在钝角△ABC中，
⑼平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.
定比分点
定比分点公式(向量P1P=λ•向量PP2)
设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ，使 向量P1P=λ•向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分点坐标公式)
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
三点共线定理
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线
三角形重心判断式
在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心
[编辑本段]向量共线的重要条件
若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。
a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。
零向量0平行于任何向量。
[编辑本段]向量垂直的充要条件
a⊥b的充要条件是 a•b=0。
a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量.
设a=(x，y)，b=(x'，y')。
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a;
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0
AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”
a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').
3、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
当λ>0时，λa与a同方向;
当λ<0时，λa与a反方向;
当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;
当∣λ∣<1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
4、向量的数量积
定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a•b。若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉;若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'。
向量的数量积的运算律
a•b=b•a(交换律);
(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律);
(a+b)•c=a•c+b•c(分配律);
向量的数量积的性质
a•a=|a|的平方。
a⊥b 〈=〉a•b=0。
|a•b|≤|a|•|b|。
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律，即：(a•b)•c≠a•(b•c);例如：(a•b)^2≠a^2•b^2。
2、向量的数量积不满足消去律，即：由 a•b=a•c (a≠0)，推不出 b=c。
3、|a•b|≠|a|•|b|
4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。
5、向量的向量积
定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a，b〉;a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。
向量的向量积性质：
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
a×a=0。
a‖b〈=〉a×b=0。
向量的向量积运算律
a×b=-b×a;
(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);
(a+b)×c=a×c+b×c.
注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。
6.向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;
① 当且仅当a、b反向时，左边取等号;
② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
① 当且仅当a、b同向时，左边取等号;
② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。
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