高二函数的极值与导数识点

2016高二函数的极值与导数识点

　　导语：读一本好书，就是和许多高尚的人谈话。下面是小编为大家整理的，数学期末考复习，希望对大家有所帮,欢迎阅读，仅供参考，更多相关的知识，请关注CNFLAz学习网!

　　(一)函数的极值与导数的关系 1、观察下图中的曲线

　　a点的函数值f(a)比它临近点的函数值都大.b点的函数值f(b)比它临近点的函数值都小.

　　2、观察函数 f(x)=2x3-6x2+7的图象，

　　思考：函数y=f(x)在点x=0，x=2处的函数值，与它们附近所有各点

　　处的函数值，比较有什么特点?

　　(1)函数在x=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，

　　我们说 f(0) 是函数的一个极大值;

　　(2)函数在x=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，

　　则f(2)是函数的一个极小值.

　　函数y=2x3-6x2+7 的一个极大值: f (0); 一个极小值: f (2).

　　函数y=2x3-6x2+7 的 一个极大值点: ( 0， f (0) ); 一个极小值点: ( 2， f (2) ). 3、极值的.概念：

　　一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)< f(x0) 我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作 y极大值=f(x0);

　　如果对x0附近的所有的点，都有f(x)>f(x0)

　　我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0). 极大值与极小值统称为极值. 4、观察下图中的曲线

　　考察上图中，曲线在极值点处附近切线的斜率情况. )>0

　　上图中，曲线在极值点处切线的斜率为0，

　　极大值点左侧导数为正，右侧为负;极小值点左侧导数为负，右侧为正. 函数的极值点xi是区间[a, b]内部的点，区间的端点不能成为极值点.

　　函数的极大(小)值可能不止一个，并且函数的极大值不一定大于极小值，极小值不一定小于极大值.

　　函数在[a, b]上有极值，其极值点的分布是有规律的，像相邻两个极大值间必有一个极小值点.

　　5、利用导数判别函数的极大(小)值：

　　一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，判别f(x0)是极大(小)值的方法是：

　　⑴如果在x0附近的左侧f '(x)>0，右侧f '(x)<0，那么，f(x0)是极大值; ⑵如果在x0附近的左侧f '(x)<0，右侧f '(x)>0，那么，f(x0)是极小值; 思考：导数为0的点是否一定是极值点?

　　导数为0的点不一定是极值点.

　　如函数f(x)=x3，x=0点处的导数是0，但它不是极值点.

　　函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f'(x)在(a，b)内的函数

　　图像如图，则函数f(x)在开区间(a，b)内存在极小值点个.

　　例1求函数y

　　13

　　x4x4的极值. 3

　　解：y=x2-4=(x+2)(x-2).令 y=0，解得 x1=-2，x2=2. 当

　　4

　　.

　　33

　　求可导函数f (x)的极值的步骤：

　　⑴ 求导函数f (x);

　　⑵ 求方程 f (x)=0的根;

　　⑶ 检查f

　　(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x)在这个根处取得极大值; 如果左负右正，那么f (x)在这个根处取得极小值. 例2.求函数yxe

　　2x

　　的极值

　　例3 求函数y=(x2-1)3+1的极值.

　　解：定义域为R，y=6x(x2-1)2.由y=0可得x1=-1，x2=0，x3=1

　　极小值x32

　　例4.y

　　的极值 2

　　2(x1)

　　例5.y(x1)x2的极值

　　思考：导数值为0的点一定为极值点吗?极值点一定导数值为0吗? 练习：求函数yxe

　　3x

　　的极值

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