高二数学平面向量的线性运算练习题
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平面向量的分解与向量的坐标运算
1.在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若AC=a,BD=b,则AF= ( ) 11211112A.+b B.+b C.a +b 42332433
解析:如图所示,由△DEF∽△BEA知
AF=AC+CF=a+3CD
1=a+b-a) 3
21=a. 33
答案:B
2.在△ABC中,AB=c,AC=b.若点D满足BD=2DC,则AD= ( )
2152A.b B.c-b 3333
2112C.b-c
D.bc 33332
解析:如图所示,
2可知AD=ABAC-AB) 3
221=c+b-c)=+c. 333答案:A 3.在▱ABCD中,AB=a,AD=b,AN=3NC,M为BC的中点,则MN=________(用a、b表示).
13111解析:由AN=3NC得4AN=3AC=3(a+b),AM=a+b,所以MN=(a+b)-(a+b)=-+b. 24244
11答案:-a 44
4.在三角形ABC中,已知A(2,3),B(8,-4),点G(2,-1)在中线AD上,且AG=2GD,则点C的坐标是
( )
A.(-4,2) B.(-4,-2)
C.(4,-2)
D.(4,2)
8+x-4+y4+x-2+y解析:设C(x,y),则D(),再由AG=2GD得(0,-4)=2(),∴4+x=0,-2+y2222
=-4,即C(-4,-2).
答案:B
15.已知A(7,1)、B(1,4),直线y=ax与线段AB交于C,且AC=2 CB,则实数a等于 2
( )
A.2 B.1
45C. D. 53
解析:设C(x,y),
则AC=(x-7,y-1),CB=(1-x,4-y),
∵AC=2 CB,
x-7=21-xx=3∴,解得.∴C(3,3). y-1=24-yy=3
1又∵C在直线y=ax上, 2
1∴3=a·3,∴a=2. 2
答案:A
6.已知集合M={a|a=(2t+1,-2-2t),t∈R},N={b|b=(3t-2,6t+1),t∈R},则M∩N=________.
解析:设m∈(M∩N),则m=(2t1+1,-2-2t1),
又m=(3t2-2,6t2+1),
2t1+1=3t2-2,t1=-2,∴解得-2-2t1=6t2+1, 3t2=0. 故m=(-2,1),
即M∩N={(-2,1)}.
答案:{(-2,1)}
7.(2009·北京高考)已知向量a,那么( )
A.k=1且c与d同向 B.k=1且c与d反向
C.k=-1且c与d同向 D.k=-1且c与d反向
解析:不妨设a=(1,0),b=(0,1).
依题意d=a-b=(1,-1),又c=ka+b=(k,1),
∵c∥d,∴12-(-1)·k=0,∴k=-1,
又k=-1时,c=(-1,1)=-d,∴c与d反向.
答案:D
8.已知平面向量a=(x,2),b=(-2,y),且2a+3b=(-4,-8),则向量a与向量b的关系是
( )
A.平行且方向相同 B.平行且方向相反
C.垂直 D.既不平行也不垂直
解析:由2a+3b=(-4,-8)得
2x-6=-4x=1,∴, 4+3y=-8y=-4
∴a=(1,2),b=(-2,-4),∴b=-2a.
∴向量a与b平行且方向相反.
答案:B
9.已知a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).
(1)求满足a=xb+yc的实数x,y的值;
(2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k的.值.
解:(1)∵a=xb+yc,
∴(3,2)=x(-1,2)+y(4,1)=(-x+4y,2x+y).
-x+4y=3,∴2x+y=2, x9解得8y=95
(2)∵(a+kc)∥(2b-a),
且a+kc=(3,2)+k(4,1)=(3+4k,2+k),
2b-a=2(-1,2)-(3,2)=(-5,2),
16∴2(3+4k)-(-5)(2+k)=0,解得k=-. 13
10.平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C(x,y)满足OC=αOA+βOB,其中α、β∈R,且α+β=1,则x,y满足的关系式为 ( )
A.3x+2y-11=0
B.(x-1)2+(y-1)2=5
C.2x-y=0
D.x+2y-5=0
解析:由题意可得:(x,y)=α(3,1)+β(-1,3)
x=3α-β,∴y=α+3β, +y,α=3x10 ∴3y-xβ10
∴3x+y3y-x=1,∴x+2y=5. 1010
答案:D
11.△ABC的三个内角,A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若p=(a+c,b)与q=(b-a,c-a)是共线向量,
则角C=__________.
解析:∵p∥q,∴(a+c)(c-a)-b(b-a)=0,
∴a2+b2-c2=ab.
a2+b2-c21∴cosC∴C=60°. 2ab2
答案:60°
AB,试问: 12.已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5)及OP=OA+t·(1)当t为何值时,P在x轴上?P在y轴上?P在第三象限?
(2)四边形OABP是否能成为平行四边形?若能,则求出t的值;若不能,请说明 理由.
解:(1)∵O(0,0),A(1,2),B(4,5),
∴OA=(1,2),AB=(3,3). OP=OA+tAB=(1+3t,2+3t),
则P(1+3t,2+3t),
2若P在x轴上,则2+3t=0,所以t=- 3
1若P在y轴上,则1+3t=0,所以t=- 3
1+3t<0若P在第三象限,则, 2+3t<0
2所以t<-. 3
(2)∵OA=(1,2), PB=PO+OB=(3-3t,3-3t).
若OABP是平行四边形,则OA=PB,
3-3t=1即,而此方程组无解, 3-3t=2
故四边形OABP不可能是平行四边形.
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