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高二数学抛物线的几何性质

时间：2022-10-08 02:28:33 高中数学我要投稿

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2016关于高二数学抛物线的几何性质

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2016关于高二数学抛物线的几何性质

　　定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.) 则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

　　二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2;+bx+c(a，b，c为常数，a≠0) 顶点式：y=a(x-h)^2;+k[抛物线的顶点P(h，k)] 交点式：y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线] 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系： h=-b/2ak=(4ac-b^2;)/4ax1，x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a 二次函数的图像

　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像，

　　可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

　　抛物线的性质

　　1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x=-b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为 P[-b/2a，(4ac-b^2;)/4a]。当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。

　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。

　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时

　　(即ab>0)，对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。

　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0，c)

　　6.抛物线与x轴交点个数 Δ=b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 Δ=b^2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。

　　二次函数与一元二次方程特别地，二次函数(以下称函数)y=ax^2;+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)，即ax^2;+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。画抛物线y=ax2时，应先列表，再描点，最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。

　　二次函数解析式的几种形式 (1)一般式：y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0). (2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a，h，k为常数，a≠0). (3)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程

　　ax2+bx+c=0的两个根，a≠0. 说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h，k)，h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax^2;如果对称轴是y轴，但不过原点，则设y=ax^2+k

　　定义与定义表达式

　　一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

　　y=ax^2+bx+c

　　(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大。) 则称y为x的二次函数。

　　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

　　x是自变量，y是x的函数

　　二次函数的三种表达式

　　①一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)

　　②顶点式[抛物线的顶点P(h，k)]：y=a(x-h)^2+k

　　③交点式[仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2) 以上3种形式可进行如下转化：

　　①一般式和顶点式的关系

　　对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)，即