高一数学函数常考的知识点

2017高一数学函数常考的知识点

　　导语：不读书的人，思想就会停止。本文是小编为大家整理的，数学知识，想要知更多的资讯，请多多留意CNFLA学习网!

　　一、函数的概念与表示

　　1、映射:设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于A中的任意仪的元素x，在集合B中都有唯一的确定的y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射。 ⑴ 集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。 ⑵ 集合A中的不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个。 ⑶ 不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

　　注意点：(1)对映射定义的理解。(2)判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射

　　2、函数

　　构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域 两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同 二、函数的解析式与定义域

　　1、求函数定义域的主要依据： (1)分式的分母不为零;

　　(2)偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义; (3)对数函数的真数必须大于零;

　　(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1; ⑸ 指数为0时，底数不得为0。 ⑹ 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么，它的定义域是各个部分都有意义的x值组成 的集合。 ⑺ 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。

　　例.(05江苏卷)函数y

　　________________________

　　例3：

　　(1) 已知f(x)的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。

　　(2) 已知f(2x-1)的定义域是[-1,3],求f()x的定义域。

　　例4：设f(x)lg

　　变式练习：f(2x)

　　2xx2

　　，则f()f()的定义域为__________ 2x2x

　　4x2，求f(x)的定义域。

　　三、函数的值域

　　1求函数值域的方法

　　①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数;

　　②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式;

　　③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围;适合分母为二次且x∈R的分式;

　　④分离常数：适合分子分母皆为一次式(x有范围限制时要画图);

　　⑤单调性法：利用函数的单调性求值域;

　　⑥图象法：二次函数必画草图求其值域;

　　⑦利用对号函数

　　⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数 例：

　　四.函数的奇偶性

　　1.定义: 设y=f(x)，x∈A，如果对于任意x∈A，都有f(x)f(x)，则称y=f(x)为偶函数。

　　如果对于任意x∈A，都有f(x)f(x)，则称y=f(x)为奇函数。

　　2.性质：

　　ⅰ 无论函数是奇函数还是偶函数，只要函数具有奇偶性，该函数的定义域一定关于原点对称。 ⅱ 奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。

　　②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0 ③奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇[两函数的定义域D1 ，D2，D1∩D2要关于原点对称] 3.奇偶性的判断

　　 ⅰ 先确定函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则为非奇非偶函数。  ⅱ 确定f(x) 和f(-x)的关系：

　　 若f(x) -f(-x)=0，或f(x) /f(-x)=1，则函数为偶函数;  若f(x)+f(-x)=0，或f(x)/ f(-x)=-1，则函数为奇函数。

　　五、函数的单调性

　　1、函数单调性的定义：

　　设函数y=f(x)的定义域为I，如果对应定义域I内的某个区间D内的任意两个变量x1、x2， 当x1< x2时，都有f(x1)f(x2)，那么那么y=f(x)在区间D上是减函数，D是函数y=f(x)的单调递减区间。 ⑴ 函数区间单调性的判断思路

　　ⅰ 在给出区间内任取x1、x2，则x1、x2∈D，且x1< x2。

　　ⅱ 做差值f(x1)-f(x2)，并进行变形和配方，变为易于判断正负的形式。 ⅲ 判断变形后的表达式f(x1)-f(x2)的符号，指出单调性。

　　2 设yfgx是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则yfgx在M上是减函数;若f(x)

　　与g(x)的单调性相同，则yfgx在M上是增函数。

　　六.函数的周期性：

　　1.(定义)若f(xT)f(x)(T0)f(x)是周期函数，T是它的一个周期。

　　说明：nT也是f(x)的周期。(推广)若f(xa)f(xb)，则f(x)是周期函数，ba是它的一个周期  对照记忆：

　　f(xa)f(xa)说明： f(ax)f(ax)说明：

　　2.若f(xa)f(x);f(xa)11

　　;f(xa);则f(x)周期是2a

　　七、反函数

　　1.只有单调的函数才有反函数;反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域; 2、求反函数的步骤 (1)解 (2)换 (3)写定义域。 3、关于反函数的性质

　　(1)y=f(x)和y=f-1(x)的.图象关于直线y=x对称; (2)y=f(x)和y=f-1(x)具有相同的单调性;

　　(3)已知y=f(x)，求f-1(a)，可利用f(x)=a，从中求出x，即是f-1(a); (4)f-1[f(x)]=x;

　　(5)若点 (a,b)在y=f(x)的图象上，则 (b,a)在y=f--1(x)的图象上; (6)y=f(x)的图象与其反函数y=f--1(x)的图象的交点一定在直线y=x上;

　　六、指数和对数 1、指数的性质

　　⑴ 根式：如果x=a，则x叫做a的n次方根，记作 ⅰ 负数没有偶次方根。 ⅱ 0的任何次方根都是0。 ⅲ 当n为奇数时 ⑵ 分数指数幂

　　=

　　=a ，当n是偶数时

　　= ∣a∣

　　n

　　(n>1，n∈N+)

　　(a>0，m、n∈N+，n>1)

　　负指数幂 = (a>0，m、n∈N+，n>1)

　　0的正分数指数幂为0,0的负指数幂没有意义。 ⑶ 实数指数幂的运算性质

　　ar • as = ar+s (a>0，r、s∈R) (ar)s = ars (a>0，r、s∈R)

　　•

　　(ab)r = ar•br (a、b>0，r∈R) 2、对数的性质

　　⑴ 对数：如果ax=N (a>0，a≠1)，那么，x叫做以a为底N的对数，记住：logaN=x，其中a为底数，N为真数。

　　ⅰ 注意底数a的取值范围：a>0且a≠1。 ⅱ 常数对数：以10为底的对数 lgN; 自然对数：以e=2.71828…为底的对数lnN。 ⑵ 对数的运算性质：如果a>0且a≠1，M>0，N>0

　　loga(M•N)=logaM + logaN

　　loga=logaM – logaN

　　logaMn = nlogaM (N∈R)

　　⑶ 对数的换底公式 logab = logcb / logca (a>0且a≠1, c>0且c≠1，b>0) 则 =

　　logab = 1/ logba

　　七、基本初等函数

　　1、指数函数：函数y=ax (a>0且a≠1)叫做指数函数

　　注意：⑴ 由函数的单调性可以看出，在闭区间[a,b]上，指数函数的最值为： a>1时，最小值f(a)，最大值f(b);0

　　对于任意指数函数

　　y=ax (a>0且a≠1)，都有f(1)=a。

　　2、对数函数：函数y=logx(a>0且a≠1))，叫做对数函数

　　3、幂函数：函数y=x (a∈R)，高中阶段，幂函数只研究第I象限的情况。 ⑴ 所有幂函数都在(0，+∞)区间内有定义，而且过定点(1,1)。

　　⑵ a>0时，幂函数图像过原点，且在(0，+∞)区间为增函数，a越大，图像坡度越大。 ⑶ a<0时，幂函数在(0，+∞)区间为减函数。

　　当x从右侧无限接近原点时，图像无限接近y轴正半轴; 当y无限接近正无穷时，图像无限接近x轴正半轴。

　　十二.函数的其他性质

　　1.函数的单调性通常也可以以下列形式表达：

　　f(x1)f(x2)

　　0 单调递增

　　x1x2f(x1)f(x2)

　　0 单调递减

　　x1x2

　　2.函数的奇偶性也可以通过下面方法证明：

　　f(x)f(x)0 奇函数 f(x)f(x)0 偶函数

　　3.函数的凸凹性：

　　xxf(x1)f(x2)f(12 凹函数(图象“下凹”，如：指数函数)

　　22

　　f(

　　x1x2f(x1)f(x2)

　　) 凸函数(图象“上凸”，如：对数函数)

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