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高中数学不等式与不等式组知识点
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1不等式与不等式组的数轴穿根解法
数轴穿根：用根轴发解高次不等式时，就是先把不等式一端化为零，再对另一端分解因式，并求出它的零点，把这些零点标在数轴上，再用一条光滑的曲线，从x轴的右端上方起，一次穿过这些零点，这大于零的不等式地接对应这曲线在x轴上放部分的实数x得起值集合，小于零的这相反。
做法：
1.把所有X前的系数都变成正的(不用是1,但是得是正的);
2.画数轴,在数轴上从小到大依次标出所有根;
3.从右上角开始,一上一下依次穿过不等式的根，奇过偶不过(即遇到含X的项是奇次幂就穿过,偶次幂跨过，后面有详细介绍);
4.注意看看题中不等号有没有等号,没有的话还要注意写结果时舍去使使不等式为0的根。
例如不等式:x2-3x+2≤0(最高次项系数一定要为正，不为正要化成正的)
⒈分解因式:(x-1)(x-2)≤0;
⒉找方程(x-1)(x-2)=0的根:x=1或x=2;
⒊画数轴,并把根所在的点标上去;
⒋注意了,这时候从最右边开始,从2的右上方引出一条曲线,经过点2，继续向左画,类似于抛物线，再经过点1，向点1的左上方无限延伸;
⒌看题求解,题中要求求≤0的解，那么只需要在数轴上看看哪一段在数轴及数轴以下即可,观察可以得到：1≤x≤2。
高次不等式也一样.比方说一个分解因式之后的不等式：
x(x+2)(x-1)(x-3)>0
一样先找方程x(x+2)(x-1)(x-3)=0的根
x=0，x=1，x=-2，x=3
在数轴上依次标出这些点.还是从最右边的一点3的右上方引出一条曲线,经过点3,在1、3之间类似于一个开口向上的抛物线，经过点1;继续向点1的左上方延伸，这条曲线在点0、1之间类似于一条开口向下的曲线，经过点0;继续向0的左下方延伸，在0、-2之间类似于一条开口向上的抛物线，经过点-2;继续向点-2的左上方无限延伸。
方程中要求的是>0，
只需要观察曲线在数轴上方的部分所取的x的范围就行了。
x<-2或03。
⑴遇到根是分数或无理数和遇到整数时的处理方法是一样的,都是在数轴上把这个根的位置标出来;
⑵“奇过偶不过”中的“奇、偶”指的是分解因式后,某个因数的指数是奇数或者偶数;
比如对于不等式(X-2)2(X-3)>0
(X-2)的指数是2,是偶数,所以在数轴上画曲线时就不穿过2这个点，
而(X-3)的指数是1,是奇数,所以在数轴上画曲线时就要穿过3这个点。
1高中数学不等式与不等式组的解法
1.一元一次不等式的解法
任何一个一元一次不等式经过变形后都可以化为ax>b或axb而言，当a>0时，其解集为(ab，+∞)，当a<0时，其解集为(-∞，ba)，当a=0时，b<0时，期解集为R，当a=0，b≥0时，其解集为空集。
例1：解关于x的不等式ax-2>b+2x
解：原不等式化为(a-2)x>b+2
①当a>2时，其解集为(b+2a-2，+∞)
②当a<2时，其解集为(-∞，b+2a-2)
③当a=2，b≥-2时，其解集为φ
④当a=2且b<-2时，其解集为R.
2.一元二次不等式的解法
任何一个一元二次不等式都可化为ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)的形式，然后用判别式法来判断解集的各种情形(空集，全体实数，部分实数)，如果是空集或实数集，那么不等式已经解出，如果是部分实数，则根据“大于号取两根之外，小于号取两根中间”分别写出解集就可以了。
例2：解不等式ax2+4x+4>0(a>0)
解：△=16-16a
①当a>1时，△<0，其解集为R
②当a=1时，△=0，则x≠-2，故其解集(-∞，-2)∪(-2，+∞)
③当a<1时，△>0，其解集(-∞，-2-21-aa)∪(-2+21-aa，+∞)
3.不等式组的解法
将不等式中每个不等式求得解集，然后求交集即可.
例3：解不等式组m2+4m-5>0(1)
m 2+4m-12<0(2)
解：由①得m<-5或m>1
由②得-6，故原不等式组的解集为(-6，-5)∪(1，2)
4.分式不等式的解法
任何一个分式不等都可化为f(x)g(x)>0(≥0)或f(x)g(x)<0(≤0)的形式，然后讨论分子分母的符号，得两个不等式组，求得这两个不等式组的解集的并集便是原不等式的解集.
例4：解不等式x2-x-6-x2-1>2
解：原不等式化为：3x2-x-4-x2-1>0
它等价于(I)3x2-x-4>0-x2-1>0和(II)3x2-x-4<0-x2-1<0
解(I)得解集空集，解(II)得解集(-1，43).
故原不等式的解集为(-1，43).
5.含有绝对值不等式的解法
去绝对值号的主要依据是：根据绝对值的定义或性质，先将含有绝对值的不等式中的绝对值号去掉，化为不含绝对值的不等式，然后求出其解集即可。
(1)|x|>a(a>0)?x>a或x<-a.
(2)|x|0)?-a解：原不等式等价于3xx2-4≥1，①或3xx2-4≤-1②
解①得2 解②得-4≤x<-2或1≤x<2
故原不等式的解集为[-4，-2)∪(-2，-1]∪[1，2)∪(2，4].
例6：解不等式|x2-3x+2|>x2-1
解：原不等式等价于x2-3x+2>x2-1①或x2-3x+2<-x2+1②
解①得{x|x<1}，解②得{x|12g(x)和|f(x)|a和|x| 例7：解不等式|x+1|+|x|<2
解：①当x≤-1时，原不等式变为-x-1-x<2 ∴-32 ②当-1 ∴-1 ③当x>0时，原不等式变为x+1+x<2.
∴解得0 综合①，②，③知，原不等式的解集为{x|-32 例8：解不等式|x2-3x+2|+|x2-4x+3|>2
解：①当x≤1时，原不等式变为x2-3x+2+x2-4x+3>2，此时解集为{x|x<12}.
②当12，此时解集为空集。
③当22，此时的解集是空集。
④当x>3时，原不等式化为x2-3x+2+x2-4x+3>2，此时的解集为{x|x>3}.
综合①②③④可知原不等式的解集为{x|x≤12}∪{x|x>3}.从以上两个例子可以看出，解含有两个或两个以上的绝对值的不等式，一般是先找出一些关键数(如例7的关键数是-1，0;例8中的关键数是1，2，3)这些关键数将实数划分为几个区间，在这些区间上，可以根据绝对值的意义去掉绝对值号，从而转化为不含绝对值的不等式，应当注意的是，在解这些不等式时，应该求出交集，最后综合各区间的解集写出答案。
6.无理不等式的解法
无理不等式f(x)>g(x)的解集为不等式组(I)f(x)≥[g(x)] 2f(x)≥0g(x)≥0和(II)f(x)≥0g(x)<0的解集的并集.
无理不等式f(x)0)的解集为不等式组f(x)≥0f(x)<[g(x)] 2g(x)>0的解集.
例9：解不等式：2x+5-x-1>0
解：原不等式化为：2x+5>x+1 由此得不等式组(I)2x+5≥0x+1<0或(II)2x+5≥0x+1≥02x+5>(x+1)2
解(I)得-52≤x<-1，解(II)得-1≤x<2
故原不等式的解集为[-52，2].
7.指数不等式的解法
根据指数函数的单调性来解不等式。
例10.解不等式：9x>(3)x+2
解：原不等式化为 3 2x>3x+22
∴2x>x+22即x>23
故原不等式解集为(23 ，+∞).
8.对数不等式的解法
根据对数函数的单调性来解不等式。
例11：解不等式：log12(x+1)(2-x)>0
解：原不等式化为log12(x+1)(2-x)>log121
∴ (x+1)(2-x)>0 (1)(x+1)(2-x)<1 (2)
解①得-1 解②得x<1-52 或x>1+52
故原不等式解集(-1，1-52)∪(1+52，2).
9.简单高次不等式的解法
简单高次不等式可以利用数轴标根法来解不等式.
例12：解不等式(x+1)(x 2-5x+4)<0
解：原不等式化为：(x+1)(x-1)(x-4)<0
如图，由数轴标根法可得原不等式解集为(-∞，-1)∪(1，4)
10.三角不等式的解法
根据三角函数的单调性，先求出在同一周期内的解集，然后写出通值。
例13：解不等式：sinx≤-12
解：sinx≤-12在[0，2π]内的解是：76 π≤x≤116π
故原不等式的解集为[2kπ+76 ，2kπ+116 ](k∈z)。
11.含有字母系数不等式的解法
在解不等式过程中，还常常遇到含有字母系数的一些不等式，此时，一定要注意字母系数进行讨论，以保证解题的完备性。
例14：解不等式2 3x-2x 解：原不等式变形为2 2x(2 2x-1) ∴(2 2x-1) (2 2x-a)<0
∴原不等式等价于2 2x-1>02 2x-a<0 或2 2x-1<02 2x-a>0
①当a≤0时，x<0;
②当0 ③当a=1时，无解
④当a>1时，0 解不等式的基础是解一元一次不等式，解一元二次不等式，解由一元一次不等式和一元二次不等式组成的不等式组。解其它各式各样的不等式(三角不等式除外)关键在于根据有关的定义，定理，性质转化这些不等式为上述三类不等式。在具体转化的过程中，特别应该注意每一步都应是同解变形。像无理不等式中的开偶次方时的被开方数及对数不等式中的真数等，在去根号和去对数符号时，一定要使被开方数非负，真数大于零。
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