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高考数学全国卷1理试题及答案
在各领域中，我们会经常接触并使用试题，借助试题可以为主办方提供考生某方面的知识或技能状况的信息。大家知道什么样的试题才是规范的吗？下面是小编为大家整理的高考数学全国卷1理试题及答案，欢迎大家分享。
高考数学全国卷1理试题及答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1. 已知集合\(A = \{x|x^2 - 3x + 2 = 0\}\)，\(B=\{x\in Z| - 1\leqslant x\leqslant3\}\)，则\(A\cap B = (\space)\)
A. \(\{1,2\}\)
B. \(\{1,2,3\}\)
C. \(\{ - 1,0,1,2,3\}\)
D. \(\{0,1,2,3\}\)
答案：A。
解析：解集合\(A\)中的方程\(x^2-3x + 2=0\)，即\((x - 1)(x - 2)=0\)，得\(x = 1\)或\(x = 2\)，所以\(A=\{1,2\}\)。集合\(B = \{ - 1,0,1,2,3\}\)，则\(A\cap B=\{1,2\}\)。
2. 复数\(z=\frac{2i}{1 - i}\)（\(i\)为虚数单位）的共轭复数\(\overline{z}\)在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
答案：A。
解析：先化简\(z\)，\(z=\frac{2i(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)}=\frac{2i + 2i^2}{2}=-1 + i\)，其共轭复数\(\overline{z}=-1 - i\)，对应的点为\((-1,-1)\)，在第三象限。
3. 已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(x,1)\)，若\(\vec{a}\perp\vec{b}\)，则\(x = (\space)\)
A. 2
B. -2
C. 1
D. -1
答案：B。
解析：因为\(\vec{a}\perp\vec{b}\)，所以\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，即\(1\times x + 2\times1 = 0\)，解得\(x=-2\)。
4. 设\(a = \log_{3}2\)，\(b=\log_{5}2\)，\(c = \log_{2}3\)，则（ ）
A. \(a>c>b\)
B. \(b>c>a\)
C. \(c>a>b\)
D. \(c>b>a\)
答案：C。
解析：因为\(0=\log_{3}1<\log_{3}2<\log_{3}3 = 1\)，\(0=\log_{5}1<\log_{5}2<\log_{5}5 3="">\log_{2}2 = 1\)。又因为\(\log_{2}3>\log_{2}\sqrt{8}=\frac{3}{2}\)，\(\log_{3}2=\frac{\lg2}{\lg3}\)，\(\log_{5}2=\frac{\lg2}{\lg5}\)，且\(\lg3<\lg5\)，所以\(\log_{3}2>\log_{5}2\)，所以\(c>a>b\)。
5. 已知\(\sin(\alpha-\frac{\pi}{4})=\frac{7\sqrt{2}}{10}\)，\(\cos2\alpha=\frac{7}{25}\)，则\(\sin\alpha+\cos\alpha = (\space)\)
A. \(\frac{4}{5}\)
B. \(-\frac{4}{5}\)
C. \(\frac{1}{5}\)
D. \(-\frac{1}{5}\)
答案：D。
解析：因为\(\sin(\alpha-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\alpha-\cos\alpha)=\frac{7\sqrt{2}}{10}\)，所以\(\sin\alpha-\cos\alpha=\frac{7}{5}\)。又\(\cos2\alpha=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha = (\cos\alpha+\sin\alpha)(\cos\alpha-\sin\alpha)=\frac{7}{25}\)，所以\(\cos\alpha+\sin\alpha=-\frac{1}{5}\)。
6. 过点\((2,0)\)引直线\(l\)与曲线\(y=\sqrt{2 - x^{2}}\)相交于\(A\)、\(B\)两点，\(O\)为坐标原点，当\(\triangle AOB\)的面积取最大值时，直线\(l\)的斜率等于（ ）
A. \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
B. \(-\frac{\sqrt{3}}{3}\)
C. \(\pm\frac{\sqrt{3}}{3}\)
D. \(-\sqrt{3}\)
答案：B。
解析：曲线\(y = \sqrt{2 - x^{2}}\)表示圆心在原点，半径\(r=\sqrt{2}\)的圆的上半部分。设直线\(l\)的方程为\(y = k(x - 2)(k<0)\)，即\(kx - y - 2k = 0\)。圆心到直线的距离\(d=\frac{| - 2k|}{\sqrt{k^{2}+1}}\)，弦长\(|AB| = 2\sqrt{r^{2}-d^{2}}=2\sqrt{2-\frac{4k^{2}}{k^{2}+1}}\)。则\({S}_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}\times d\times|AB|=\frac{1}{2}\times\frac{| - 2k|}{\sqrt{k^{2}+1}}\times2\sqrt{2-\frac{4k^{2}}{k^{2}+1}}\)，化简后求最大值可得\(k =-\frac{\sqrt{3}}{3}\)。
7. 已知双曲线\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a>0,b>0)\)的右焦点为\(F\)，过\(F\)作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为\(A\)，若\(\triangle AOF\)的面积为\(\frac{1}{2}a^{2}\)（\(O\)为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）
A. \(\sqrt{5}\)
B. \(\sqrt{3}\)
C. \(\sqrt{2}\)
D. 2
答案：A。
解析：设双曲线的一条渐近线方程为\(y=\frac{b}{a}x\)，右焦点\(F(c,0)\)，则\(|AF|=\frac{|bc|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=b\)，在\(Rt\triangle AOF\)中，\(|OA| = a\)，由\({S}_{\triangle AOF}=\frac{1}{2}a^{2}\)，可得\(\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}a^{2}\)，得\(b = a\)，则\(c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{2}a\)，离心率\(e=\frac{c}{a}=\sqrt{2}\)。
8. 已知函数\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+(4a - 3)x + 3a,x<0\\ x="" a="">0\)且\(a\neq1\)）在\(R\)上单调递减，则\(a\)的取值范围是（ ）
A. \([\frac{3}{4},1)\)
B. \((0,\frac{3}{4}]\)
C. \([\frac{1}{3},\frac{3}{4}]\)
D. \((0,\frac{1}{3}]\)
答案：C。
解析：因为函数\(f(x)\)在\(R\)上单调递减，所以在每一段上都单调递减，且在\(x = 0\)处，左边的值不小于右边的值。对于\(y = x^{2}+(4a - 3)x + 3a\)，其对称轴\(x =-\frac{4a - 3}{2}\geqslant0\)，且\(3a\geqslant1\)；对于\(y=\log_{a}(x + 1)+1\)在\([0,+\infty)\)单调递减，可得\(0 < a < 1\)。联立不等式组求解可得\(a\in[\frac{1}{3},\frac{3}{4}]\)。
9. 定义在\((0,+\infty)\)上的函数\(f(x)\)满足\(x^{2}f(x)+1>0\)，\(f(1)=5\)，则不等式\(f(x)<\frac{1}{x}+4\)的解集为（ ）
A. \((0,1)\)
B. \((1,+\infty)\)
C. \((0,2)\)
D. \((2,+\infty)\)
答案：A。
解析：设\(g(x)=f(x)-\frac{1}{x}-4\)，\(x\in(0,+\infty)\)，则\(g(x)=f(x)+\frac{1}{x^{2}}\)。由\(x^{2}f(x)+1>0\)得\(f(x)+\frac{1}{x^{2}}>0\)，即\(g(x)>0\)，所以\(g(x)\)在\((0,+\infty)\)上单调递增。又\(g(1)=f(1)-1 - 4 = 0\)，所以\(g(x)<0\)的解集为\((0,1)\)，即不等式\(f(x)<\frac{1}{x}+4\)的解集为\((0,1)\)。
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
1. 在\((x + \frac{1}{x}-1)^{6}\)的展开式中，含\(x^{5}\)项的系数为____。
答案：-6。
解析：\((x+\frac{1}{x}-1)^{6}=[(x+\frac{1}{x})-1]^{6}\)，其展开式的通项公式为\(T_{r + 1}=C_{6}^{r}(x+\frac{1}{x})^{6 - r}(-1)^{r}\)。对于\((x+\frac{1}{x})^{6 - r}\)，其通项公式为\(T_{m+1}=C_{6-r}^{m}x^{6 - r - m}(\frac{1}{x})^{m}=C_{6-r}^{m}x^{6 - r - 2m}\)。令\(6 - r - 2m = 5\)，当\(r = 0\)，\(m=\frac{1}{2}\)（舍去）；当\(r = 1\)，\(m = 0\)时，此时该项系数为\(C_{6}^{1}\times(-1)^{1}\times C_{5}^{0}=-6\)。
2. 若\(x\)，\(y\)满足约束条件\(\left\{\begin{array}{l}x - y + 1\geqslant0\\ x + y - 3\leqslant0\\ x + 3y - 3\geqslant0\end{array}\right.\)，则\(z = 3x - y\)的最大值为____。
答案：7。
解析：画出可行域，三条直线\(x - y + 1 = 0\)，\(x + y - 3 = 0\)，\(x + 3y - 3 = 0\)的交点分别为\(A(1,2)\)，\(B(0,1)\)，\(C(3,0)\)。将目标函数\(z = 3x - y\)变形为\(y = 3x - z\)，当直线\(y = 3x - z\)经过点\(C(3,0)\)时，\(z\)取得最大值，\(z_{max}=3\times3 - 0 = 7\)。
3. 已知三棱锥\(P - ABC\)的四个顶点在球\(O\)的球面上，\(PA = PB = PC\)，\(\triangle ABC\)是边长为\(2\)的正三角形，\(E\)，\(F\)分别是\(PA\)，\(AB\)的中点，\(\angle CEF = 90^{\circ}\)，则球\(O\)的体积为____。
答案：\(\sqrt{6}\pi\)
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