小学小升初奥数知识：数的整除

小学小升初奥数知识：数的整除

　　在平日的学习中，说起知识点，应该没有人不熟悉吧？知识点也可以理解为考试时会涉及到的知识，也就是大纲的分支。那么，都有哪些知识点呢？以下是小编帮大家整理的小学小升初奥数知识：数的整除，希望对大家有所帮助。

　　1.整除的概念

　　在小学书中所学的自然数和零，都是整数。同学们都知道，如果一个整数a除以一个自然数b，商是整数而且没有余数(或者说余数为零)，就叫做a能被b整除，或者b整除a，记作a│b。这时a叫做b的倍数，b叫做a的约数。

　　例如，3│15表示15能被3整除，或者3整除15;也可以说15是3的倍数，3是15的约数。

　　由整数概念可知，整除必须同时满足三个条件：(1)被除数是整数，除数是自然数;(2)商是整数;(3)没有余数。这三个条件只要有一个不满足，就不能叫整除。

　　例如，16÷5=3.2，商不是整数，所以不能说5整除16。又如，10÷2.5=4，除数不是自然数，所以不能说10能被2.5整除。

　　2.整除的性质

　　(1)如果两个整数都被同一个自然数整除，那么它们的和、差(大减小)也都能被这个自然数整除。换句话说，同一个自然数的两个倍数之和、差(大减小)仍是这个自然数的倍数。

　　例如，18与42都能被6整除，那么18与42的和60、差24也都能被6整除;即从6│18及6│42可知6│(18+42)、6│(42-18)。

　　(2)如果甲数整除乙数，乙数整除丙数，那么甲数整除丙数。即如果丙数是乙数的倍数，乙又是甲数的倍数，那么丙数是甲数的倍数。

　　例如，7│28，28│84，那么就有7│84。

　　(3)如果甲数整除乙数，那么甲数就整除乙数与任一整数的乘积。也就是说如果乙数是甲数的倍数，那么乙数的任一倍数也是甲数的倍数。

　　例如，13│39，39×4=156，因此13│156。

　　(4)如果甲数能被丙数整除，而乙数不能被丙数整除，那么甲数与乙数的和、差都不能被丙数整除。即如果甲数是丙数的倍数，乙数不是丙数的倍数，那么甲数与乙数的和、差(大减小)都不是丙数的倍数。

　　例如，6整除48，6不整除35，所以6不整除83(48+35=83)，也不整除13(48-35=13)。

　　3.数的整除特征

　　(1)个位数字是0、2、4、6、8的数都能被2整除;反过来，个位数字是1、3、5、7、9的数都不能被2整除。

　　(2)个位数字是0或5的数都能被5整除;反过来，个位数字既不是0也不是5的数都不能被5整除;反过，个位数字既不是0也不是5的数都不能被5整除。

　　(3)末两位数能被49或25)整除的数，必能被4(或25)整除;反过来，末两位数不能被4(或25)整除的数，必不能被4(或25)整除。

　　(4)末三位数能被8(或125)整除的数，必须被8(或125)整除;反过来，末三位数不能被8(或125)整除的数，必不能被8(或125)整除。

　　上述各条可以综合推广成一条：

　　末n位数能被2 (或5 )整除的数，本身必能被2 (或5 )整除;反过来，末n位数不能被2 (或5 )整除的数，本身必不能被2 (或5 )整除。

　　例如，364789056能不能被16整除?因为16=2 ，所以只要看364789056的末四位9056能不能被16整除。从16整除9056就可知16整除364789056。

　　(5)各位数字之和能被3(或9)整除的数，本身也能被3(或9)整除;反过来，各位数字之和不能被3(或9)整除的数，本身也不能被3(或9)整除。

　　我们通过具体例子来说明其中的道理：

　　83256

　　=8×10000+3×1000+2×100+5×10+6

　　=8×(9999+1)+3×(999+1)+2×(99+1)+5×(9+1)+6

　　=(8×9999+3×999+2×99+5×9)+(8+3+2+5+6)，因为第一个括号内的结果是3的倍数，所以如果第二个括号内的结果是3的倍数，那么根据整除的性质(1)，原数就是3的倍数;如果第二个括号内的结果不是3的倍数，那么根据整除的性质(4)，原数就不是3的倍数。现在第二个括号内的结果是8+3+2+5+6=24，24是3的倍数，所以原数是3的倍数。完全类似，因为第一个括号内的结果是9的倍数，第二个括号内的结果不是9的倍数。所以根据整除的性质(4)，原数不是9的倍数。

　　(6)能被(7(11或13)整除的数的特征：这个数的末三位数字所表示数与末三位以前的数字所表示的数之差(大减小)能被7(11或13)整除。

　　例如判断1265817能否分别被7、11、13整除?把1265817分成两段：1265与817，因为1265-817=448，而7整除448，所以7整除1265817;11不整除448，所以11不整除1265817;同样，13不整除448，所以13不整除1265817。

　　这是什么道理呢?

　　因为7×11×13=1001，所以凡是001的倍数都能被7、11、13整除。

　　1265817=1265×1000+817

　　=1265×1001-1265+817

　　=1265×1001-(1265-817)，因为1001能被7整除，所以1265×1001也能被7整除。如果(1265-817)能被7整除，那么1265817也能被7整除;反过来，如果1265817能被7整除，那么(1265-817)也能被7整除。这就说明，1265817能否被7整除，完全取决于(1265-817)能否被7整除。而817与1265正是1265817的末三位数字与末三位以前的数字所表示的数。

　　对于11和13来说，情形完全一样。

　　如果把1265817换成其它数，上述推导过程可以照样进行，所以我们能用上述方法来判断一个数能否被7(11或13)整除。

　　由此整除特征可以看到，把一个三位数连写两遍所得的六位数必能同时被7、11、13整除。例如382382就能同时被7、11、13整除。实际上，这样的数是1001的倍数，而1001=7×11×13。

　　(7)能被11整除的数的特征二：这个数的奇位数字之和与偶位数字之和的差(大减小)能被11整除。

　　我们利用92587来说明其中的道理。

　　92587=9×10000+2×1000+5×100+8×10+7

　　=9×(909×11+1)+2×(91×11-1)+5×(9×11+1)+8×(11-1)+7

　　=(9×909×11+2×91×11+5×9×11+8×11)+(9-2+5-8+7)

　　因为第一括号内的结果能被11整除，所以92587能否被11整除，完全取决于第二个括号内的结果能否被11整除。第二个括号内恰好就是奇位数字之和与偶位数字之和的差。

　　现在9-2+5-8+7=11，所以原数92587能被11整除。

　　(8)能被11整除的数的特征三(割尾减尾法)：这个数除去个位数字之外其余数位上的数字所表示的数与个位数之差被11整除。

　　例如：7249=724×10+9=724×11-724+9=724×11-(724-9)。

　　因为724×11能被11整除，所以7249能否被11整除，取决于(724-9)能否被11整除，而(724-9)正是这个数除去个位数字之外其余数位上的数字所表示的数与个位数之差。从此例就可看出这种方法为什么是正确的。

　　(9)如果一个数能被互质的两个自然数整除，那么它一定能被这两个互质数的积整除。

　　把这一性质与前边所学数的整除特征相联系，我们就可以得到一大批数的整除特征。

　　例如，因为2和3互质，并且2×3=6，所以一个数能被6整除的特征是这个数既能被2整除又能被3整除。又如，因为3和5互质，并且3×5=15，所以一个数能被15整除的特征是这个数既能被3整除又能被5整除。

　　数的整除例题分析：

　　例1.在□处填入适当的数字，使四位数23□□能被3整除。问□□处可有多少种不同的填法?

　　【分析与解答】根据23□□能被3整除的条件知：2+3+a+b=5+a+b能被3整除，则a+b=3n+1，又每个□中数字a，b最大只能填9，所以3n+1<18。

　　0，1

　　当n=0时，3n+1=1 即有2种填法。

　　1，0

　　0，1，2，3，4

　　当n=1时，3n+1=4 即有5种填法。

　　4，3，2，1，0

　　当n=2时，3n+1=7，有8种填法。

　　当n=3时，3n+1=10，有9种填法。

　　当n=4时，3n+1=13，有6种填法。

　　当n=5时，3n+1=16，有3种填法。

　　当n=6时，3n+1=19>18，不合题意。

　　2+5+8+9+6+3=33(种)

　　因此□□中有33种不同的填法。

　　答：共有33种不同的填法。

　　试一试：有一个四位数3aa1，它能被9整除，则a代表多少。

　　例2.从数字1、2、3、4、5中任意挑选四个数字组成能被5整除而各个数位上数字不同的四位数，共有多少个?

　　【分析与解答】因为组成的数能被5整除，所以挑选时5必须包括在内，其他四个数中任取三个，这样共有四种不同的挑选方法：1、2、3和5，1、2、4和5，1、3、4和5，以及2、3、4、和5。每种挑选方法5肯定在个位上，其余3个数子位置可以交换，能组成六个能被5整除的四位数，例如：1、2、3、5四个数字可组成1235、1325、2135、2315、3125和3215。因此四种选法一共可组成6×4=24个能被5整除的四位数。

　　答：共有24个。

　　试一试：从数字0、1、2、3、4、5中任意挑选5个数字组成能被5整除而各个数位上数字不同的五位数，共有多少个?

　　(提示：本题解题思路与例3相似，但注意数字0不能摆在自然数的最高位上。)

　　例3.173□是个四位数字。数学老师说：“我在这个□中先后填入3个四位数，依次可被9、11、6整除”。问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少?

　　【分析与解答】解这道题的关键是：怎样的自然数，才能被9整除?被11整除?被6整除?这里，要注意：被6整除，就是被2和3整除——一定是被3整除的偶数。

　　因为能被9整除的数的各位数字之和是9的倍数，并且四位数173□的数字和是1+7+3+□=11+□而□内的数字最大不超过9。所以□内只能填7。

　　因为能被11整除的四位数的个位与百位的数字和减去十位与千位的数字和所得到的差是11的倍数，即

　　(7+□)-(1+3)=3+□应是11的倍数。

　　所以□内只能填8。

　　因为能被6整除的自然数是偶数，并且数字和是3的倍数，而1+7+3+□=11+□，所以□内只能填4。

　　故数学老师先后填入的3个数字的和是7+8+4=19。

　　答：数学老师先后填入的3个数字的和是19。

　　例4.用0~9这十个数字组成能被11整除的最大十位数是多少，最小十位数是多少?

　　【分析与解答】因为0~9这十个数字的和是45，根据能被11整除的数的特征，这个十位数的奇数位数字和与偶数位数字和之差是11的倍数，所以这个差只能是0、11、22、33和44五种情况。

　　由于各位数字之和是45，根据数的奇偶性可知，十位数的奇数位数字之和与偶数位数字之只能是一奇一偶。所以他们的差为奇数，不可能是0、22和44。

　　若差是33，而和是45，根据和差问题数量关系可知奇数位数字之和与偶数位数字之和只能分别为39和6，则于所给十个数字中最小五个数字和都超过6，所以差不可能是33。这样差必定是11。

　　根据差为11，和为45，可得奇数位数字之和与偶数位数字之和分别是(45+11)÷2=28和(45-11)÷2=17。而若十位数且最大，则其高位数字应尽可能大，经凑数后者，最大十位数是9876524130。

　　想一想：最小十位数是多少?

　　试一试：用1、2、3、4四个数字，组成能被11整除的四位数共有多少个?

　　例5.将1、2、3、……30从左往右依次排成一个51位数，这个数被11除的余数是多少?

　　【分析与解答】此题是求这个51位数被11除的余数是几，显然不可用这个数去除以11找它的余数的方法。同样可根据“一个数被11除的余数与这个数其奇数位数字和减去偶数位数字和的差被11除的余数是相等的”这一性质解答。

　　依题意排成的51位数的奇数位上的数字依次是1、3、5、7、9、0、1、2、3……8、9、0、1、2、3、……8、9、0。

　　奇数位数字和是：1+3+5+7+9+2×(1+2+3+……+8+9)=115

　　这个数的偶数位上的数字和是：

　　2+4+6+8+1×10+2×10+3=53

　　而115-53=62，62÷11=5……7

　　所以这个数被11除的余数是7。

　　答：这个数被11除的余数是7。

　　注意：运用这一性质时，必须是奇数位数字和减去偶数位数字和，不可反之。由于这个题目恰巧是奇数位上的数字和大，偶数位上的数字和小，所以计算起来比较方便。如果有一个这样的题，奇数位上的数字和小，偶数位上的数字和大，即不够减时，又应该怎样计算呢?

　　如：919293949596979899这个18位数被11除，问余数是多少?

　　此题奇位上的和是45，偶位上的和是81，即45减81则不够减，那么应该怎样计算呢?可先将奇数位数字和加上11的倍数，再减去偶数位数字和。或者先将偶数位数字和减去11的倍数，然后再用奇数位数字和来减。所得到的差被11除的余数就是原数被11除的余数。

　　试一试：求出上面18位数被11除的余数是多少?

　　一、基本概念和符号：

　　1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。

　　2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“ ”;因为符号“∵”，所以的符号“∴”;

　　二、整除判断方法：

　　1.能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。

　　2.能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。

　　3.能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。

　　4.能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。

　　5.能被7整除：

　　①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。

　　②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。

　　6.能被11整除：

　　①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。

　　②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。

　　③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。

　　7.能被13整除：

　　①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。

　　②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。

　　三、整除的性质：

　　1.如果a、b能被c整除，那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。

　　2.如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。

　　3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

　　4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。

　　四、经典例题：

　　例、在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少?

　　考点：数的整除特征.

　　分析：设补上的三个数字组成三位数是abc，由这个七位数能被2，5整除，说明c=0;由这个七位数能被3整除知1+9+9+2+a+b+c=21+a+b+c能被11整除，从而a+b能被3整除;再由这个七位数又能被11整除，可知(1+9+a+c)-(9+2+b)=a-b-1能被11整除;最后由所组成的七位数应该最小，因而取a+b=3，a-b=1，从而a=2，b=1.进而解答即可;

　　解答：解：设补上的三个数字组成三位数是abc，由这个七位数能被2，5整除，说明c=0;

　　由这个七位数能被3整除知1+9+9+2+a+b+c=21+a+b+c能被11整除，从而a+b能被3整除;

　　由这个七位数又能被11整除，可知(1+9+a+c)-(9+2+b)=a-b-1能被11整除;

　　由所组成的七位数应该最小，因而取a+b=3，a-b=1，从而a=2，b=1.

　　所以这个最小七位数是1992210.

　　[注]学生通常的解法是：根据这个七位数分别能被2，3，5，11整除的条件，这个七位数必定是2，3，5，11的公倍数，而2，3，5，11的最小公倍数是2×3×5×11=330.

　　这样，1992000÷330=6036…120，因此符合题意的七位数应是(6036+1)倍的数，即1992000+(330-120)=1992210.

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