幂级数求和的探讨

关于幂级数求和的探讨

　　导语：幂级数是高等数学课程中非常重要的知识点，而其中有关幂级数求和问题是这部分内容的重点和难点.以下是小编给大家整理的大学数学，欢迎大家参考！

　　例1 求幂级数∑∞[]n=0xn[]n+1的和函数.

　　解 先求收敛域.由limn→∞an+1[]an=limn→∞n+1[]n+2=1得收敛半径R=1.

　　在端点x=-1处，幂级数成为∑∞[]n=0（-1）n[]n+1，是收敛的交错级数；

　　在端点x=1处，幂级数成为∑∞[]n=01[]n+1，是发散的.因此收敛域为I=[-1，1].

　　设和函数为s（x），即

　　s（x）=∑∞[]n=0xn[]n+1，x∈[-1，1）.（1）

　　于是

　　xs（x）=∑∞[]n=0xn+1[]n+1.（2）

　　利用性质3，逐项求导，并由

　　1[]1-x=1+x+x2+…+xn+…，（-1 得

　　[xs（x）]′=∑∞[]n=0xn+1[]n+1=∑∞[]n=0xn=1[]1-x，（|x|<1）.（4）

　　对上式从0到x积分，得

　　xs（x）=∫x01[]1-xdx=-ln（1-x），（-1≤x≤1）.（5）

　　于是，当x≠0时，有s（x）=-1[]xln（1-x），

　　而s（0）可由s（0）=a0=1得出，

　　故

　　s（x）=-1[]xln（1-x），x∈[-1，0）∪（0，1），

　　1，x=0.（6）

　　一、错误及原因分析

　　1.忽略幂级数的起始项

　　例如在求解幂级数∑∞[]n=1xn的和函数时，有学生就很容易将其和函数写为s（x）=1[]1-x，而事实上其和应该为s（x）=x[]1-x.该错误产生的原因在于学生忽略了幂级数的起始项，习惯性的把第一项默认为1.

　　2.忽略和函数的定义域

　　产生该错误的原因，主要是学生对和函数的概念理解不透彻.无穷多项求和其和并不总是存在的，即不总是收敛的，所以在求和函数时，首先要判断在哪些点处和是存在的，这些点的集合就是和函数的定义域，即幂级数的收敛域.

　　3.错误地给出和函数的定义域，即幂级数的收敛域

　　该错误的产生主要源于利用和函数的分析性质求解和函数时，忽略了收敛域的变化.上述例子中的（5）式就出现了这方面的错误.

　　4.忽略了收敛域中的特殊点

　　在上述例子式中，利用（5）求s（x）时，需要在等式两边同时除以x.此时，当x≠0时，才有s（x）=-1[]xln（1-x），因此，对x=0还要单独求解s（0）.

　　二、求幂级数和函数时应注意的问题及应对措施

　　1.标注和函数的定义域

　　和函数的定义域不同于一般函数的定义域，其定义域事实上为与和函数相对应的幂级数的收敛域，因此在和函数表达式之后应正确标注x的取值范围，即和函数的定义域.为避免在这里出现错误，在求解和函数时，应首先求出所求幂级数的收敛域.严格按照先求收敛域再求和函数的步骤求解能很好地解决这一问题（参看教材[1]中例6）.

　　2.注意收敛域与级数的匹配

　　利用和函数的分析性质求解和函数是解决幂级数求和的重要方法，尤其是教材[1]中的性质2和性质3，简称为逐项求积和逐项求导.但这两条性质都只说明变化后的级数其收敛半径不发生变化，未对收敛域的情况进行详细说明.事实上，逐项积分后所得幂级数的收敛域有可能扩大，即有可能把收敛区间的端点包含进来；逐项求导后所得幂级数的收敛域有可能缩小，即有可能把收敛域的端点去掉.应对这一问题，只需要在利用逐项求导和逐项求积时，对端点处的收敛性重新判断即可.

　　3.注意等式变化过程中x的取值问题

　　比如在（5）式中，求解s（x）时，需要在等式两边同时除以x.此时x不能取零，但x=0又是收敛域中的点，因此需单独求解s（0）.对这一问题，需要在等式变化过程中，关注x的取值变化.对收敛域中不能取到的点x0，应单独求解s（x0）.可用以下两种方法，方法一：求解x=x0时对应的常数项级数的和.方法二：利用和函数的连续性求解x=x0时对应的常数项级数的和.

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