大学数学线性代数中若干知识点的说明

大学数学线性代数中若干知识点的说明

　　上学的时候，大家都没少背知识点吧？知识点就是掌握某个问题/知识的学习要点。为了帮助大家掌握重要知识点，下面是小编为大家收集的大学数学线性代数中若干知识点的说明，仅供参考，大家一起来看看吧。

　　大学数学线性代数中若干知识点的说明 篇1

　　行列式的几何意义是什么？

　　行列式是由一些数据排列成的方阵经过规定的计算方法而得到的一个数。当然，如果行列式中含有未知数，那么它就是一个多项式。其本质上代表一个数值。（矩阵代表一个数表）

　　行列式可以按照阶数分，比如一阶，二阶，三阶直至n阶行列式。

　　几何意义是什么？

　　1. 行列式就是行列式中的行和列所构成的超平行多面体的有向面积或有向体积。（可以对二阶行列式推导一下，更能直观的了解）（静态的体积概念）

　　2. 行列式就是线性变换下的图形面积或体积的伸缩因子。（动态的变换比例概念）

　　向量空间

　　向量种类繁多，形形色色的向量方向，长短各异，应该给他分类，划分向量集合，由于向量的概念具有几何特性，因此向量的集合通常叫做向量空间。

　　作为一个空间，规矩特别多，书上给出了八条铁律，其实只有两条基本原则，

　　任意两向量相加不能超出空间，

　　任意一向量伸缩也不能超出空间。

　　由第二条伸缩性，就可以说明空间包含零向量，有了零向量，在第一条的原则上就可以推导出负向量。

　　子空间一定要经过原点为什么？

　　实际上，我们现在讨论的向量，不能称之为自由向量，因为所有的向量的尾巴都被拉到了原点上，或者说，所有向量空间里的向量都是从原点出发的，大家都有一个共同的零空间，这就是为什么所有的子空间一定要包含零空间的原因了。

　　那为什么要把所有的向量的尾巴都被拉到了原点上呢？

　　为了研究向量的方便，因为这样就可以把向量和空间中的点一一对应起来，空间中一旦建立起了坐标系，点有坐标值，那么我们就用点的坐标表示与点对应的向量，这样向量就有了解析式，就有了向量的坐标表达式，我们就可以方便分析与计算了。

　　如果一个子空间没有通过原点，那么从原点出发的向量必然首尾不顾，造成了向量头在子空间中，尾在空间外（因为原点在空间外）。当然，向量的加法和数乘也都跑到子空间外面去了。

　　基的几何意义是什么？

　　“基”，说道这个，我们可以马上联想到做房子的地基，每一个基向量可以看成是房子的砖块，整个空间都是由这些砖块衍生出来的。所以，一个基能代表或衍生出空间里所有的向量，缺一不可。其次，作为基的每一个向量，都是相互不能代替的，必须线性无关。它是最大的线性无关向量组。

　　维数

　　一个基包含的向量个数就是坐标轴的个数，也就是向量空间的维数。维数是空间的'一个本质特征，不依赖于基的选取。

　　标准正交基

　　标准正交基也叫规范正交基，实际上，如果这些基向量相互垂直，就叫正交基，而且每个基向量的长度等于1，那么这个基叫做标准正交基。

　　为什么要定义这样的标准正交基呢？

　　主要原因是如果基是正交且标准的，就容易计算向量子空间的投影和基坐标，换句话说，如果你选取的坐标系是垂直的，而且取得坐标单位为1，就很容易计算向量空间里面的向量坐标值。

　　矩阵

　　在此引用《关于矩阵的理解》一文中的某一段落：

　　“在线性空间中选定基之后，向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动，用矩阵与向量的乘法施加运动。矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述”

　　特征向量的几何意义

　　特征向量的原始定义Ax= cx，A是方阵，c是一数。（课本的定义是利用变换，即ax=rx，a是线性空间中的线性变换，x是非零向量，r是数域里的一个数）

　　从定义可以看出，矩阵A乘以向量x结果仍是同维数的一个向量。因此矩阵乘法对应了一个变换，把一个向量变成同维数的另一个向量。那变换的效果取决与矩阵的构造，比如我们可以取一个特殊的二维方阵，使得将平面上的二维向量旋转45度，这时，我们可以对自己问一个问题，有没有向量在这个变换下不改变方向呢？当然有了，零向量就可以，但除零向量之外呢？那就没有了，所以这个变换对应的矩阵就没有特征向量。

　　所以一个变换的特征向量是这样一种向量，它经过这种特定的变换后保持方向不变，只是进行长度上的伸缩而已，同时特征向量不是一个向量而是一个向量族。

　　对一个变换而言，特征向量指明的方向才是很重要的，特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已，似乎不是那么重要；但是，当我们学习了Spectral theorem时就不会这么认为了。

　　大学数学线性代数中若干知识点的说明 篇2

　　线性代数的学习切入点是线性方程组。换言之，可以把线性代数看作是在研究线性方程组这一对象的过程中建立起来的学科。

　　线性方程组

　　线性方程组的特点：方程是未知数的一次齐次式，方程组的数目s和未知数的个数n可以相同，也可以不同。

　　关于线性方程组的解，有三个问题值得讨论：

　　1、方程组是否有解，即解的存在性问题；

　　2、方程组如何求解，有多少个；

　　3、方程组有不止一个解时，这些不同的解之间有无内在联系，即解的结构问题。

　　高斯消元法

　　这最基础和最直接的求解线性方程组的方法，其中涉及到三种对方程的同解变换：

　　1、把某个方程的k倍加到另外一个方程上去；

　　2、交换某两个方程的位置；

　　3、用某个常数k乘以某个方程。我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换。

　　任意的线性方程组都可以通过初等变换化为阶梯形方程组。

　　由具体例子可看出，化为阶梯形方程组后，就可以依次解出每个未知数的值，从而求得方程组的解。

　　对方程组的解起决定性作用的是未知数的系数及其相对位置，所以可以把方程组的所有系数及常数项按原来的位置提取出来，形成一张表，通过研究这张表，就可以判断解的情况。我们把这样一张由若干个数按某种方式构成的表称为矩阵。

　　可以用矩阵的形式来表示一个线性方程组，这至少在书写和表达上都更加简洁。

　　系数矩阵和增广矩阵

　　高斯消元法中对线性方程组的初等变换，就对应的是矩阵的初等行变换。阶梯形方程组，对应的是阶梯形矩阵。换言之，任意的线性方程组，都可以通过对其增广矩阵做初等行变换化为阶梯形矩阵，求得解。

　　阶梯形矩阵的特点：左下方的元素全为零，每一行的第一个不为零的元素称为该行的`主元。

　　对不同的线性方程组的具体求解结果进行归纳总结（有唯一解、无解、有无穷多解），再经过严格证明，可得到关于线性方程组解的判别定理：首先是通过初等变换将方程组化为阶梯形，若得到的阶梯形方程组中出现d=0这一项，则方程组无解，若未出现d=0一项，则方程组有解；在方程组有解的情况下，若阶梯形的非零行数目r等于未知量数目n，方程组有唯一解；若r<n，则方程组有无穷多解。

　　在利用初等变换得到阶梯型后，还可进一步得到最简形，使用最简形，最简形的特点是主元上方的元素也全为零，这对于求解未知量的值更加方便，但代价是之前需要经过更多的初等变换。在求解过程中，选择阶梯形还是最简形，取决于个人习惯。

　　齐次方程组

　　常数项全为零的线性方程称为齐次方程组，齐次方程组必有零解。

　　齐次方程组的方程组个数若小于未知量个数，则方程组一定有非零解。

　　利用高斯消元法和解的判别定理，以及能够回答前述的基本问题：解的存在性问题和如何求解的问题，这是以线性方程组为出发点建立起来的最基本理论。

　　对于n个方程n个未知数的特殊情形，我们发现可以利用系数的某种组合来表示其解，这种按特定规则表示的系数组合称为一个线性方程组(或矩阵)的行列式。行列式的特点：有n！项，每项的符号由角标排列的逆序数决定，是一个数。

　　通过对行列式进行研究，得到了行列式具有的一些性质(如交换某两行其值反号、有两行对应成比例其值为零、可按行展开等等)，这些性质都有助于我们更方便的计算行列式。

　　用系数行列式可以判断n个方程的n元线性方程组的解的情况，这就是克莱姆法则。

　　总而言之，可把行列式看作是为了研究方程数目与未知量数目相等的特殊情形时引出的一部分内容。

　　大学数学线性代数中若干知识点的说明 篇3

　　线性代数占考研数学总分值的22%，约34分，以2个选择题、1个填空题、2个解答题的形式出现。虽然线性代数的考点众多，但要把这5个题目的分值完全收入囊中，则需要进行重点题型重点突破。

　　矩阵的秩

　　矩阵是解决线性方程组的解的有力工具，矩阵也是化简二次型的方便工具。矩阵理论是线性代数的重点内容，熟悉掌握了矩阵的相关性质与内容，利用其来解决实际应用问题就变得简单易行。正因为矩阵理论在整个线性代数中的重要作用，使它变为考试考查的重点。矩阵由那么多元素组成，每一个元素都在扮演不同的角色，其中的核心或主角是它的秩！

　　通过几十年考研考试命题，命题老师对题目的形式在不断地完善，这也要求大家深入理解概念，灵活处理理论之间的关系，能变通地解答题目。例如对矩阵秩的理解，对矩阵的秩与向量组的秩之间的关系的理解，对矩阵等价与向量组等价之间区别的理解，对矩阵的秩与方程组的解之间关系的掌握，对含参数的矩阵的处理以及反问题的解决能力等，都需要在对概念理解的基础上，联系地看问题，及时总结结论。

　　矩阵的特征值与特征向量

　　矩阵的特征值与特征向量在将矩阵对角化过程中起着决定作用，也是将二次型标准化、规范化的便捷方式，故特征值与特征向量也是考查重点。对于特征值与特征向量，须理清其相互关系，也须能根据一些矩阵的特殊性求得其特征值与特征向量(例如根据矩阵各行元素之和为3能够判断3是其一个特征值，元素均为1的列向量是其对应的特征向量)，会处理含参数的情况。

　　线性方程组求解

　　对线性方程组的求解总是通过矩阵来处理，含参数的方程组是考查的重点，对方程组解的结构及有解的条件须熟悉。例如2010年第20题(数学二为22题)，已知三元非齐次线性方程组存在2个不同的解，求其中的参数并求方程组的通解。此题的关键是确定参数！而所有信息完全隐含在"AX=b存在2个不同的解"这句话中。由此可以得到齐次方程组有非0解，系数矩阵降秩，行列式为0，可求得矩阵中的参数；非齐次方程组有解故系数矩阵与增广矩阵同秩可确定唯一参数及b中的参数。至于确定参数后再求解非齐次方程组就变得非常简单了。

　　二次型标准化与正定判断

　　二次型的标准化与矩阵对角化紧密相连，即与矩阵的特征值与特征向量紧密联系。这里需要掌握一些处理含参数矩阵的方法以便运算中节省时间。正定二次型有很优秀的性质，但毕竟这是一类特殊矩阵，判断一个矩阵是否属于这个特殊类，可以使用正定矩阵的几个充要条件，例如二次型矩阵的特征值是否全大于0，顺序主子式是否均大于0等，但前者更常用一些。

　　历年考研数学真题解析线性代数命题特点解析

　　考研数学是研究生招生入学考试中通过笔试的形式对考生数学功底的考查，从近几年的考研数学历年真题分析结果来看，可以得出一个结论：线性代数的难度在高数和概率统计之间，且大多数的同学认为线性代数试题难度不大，就是计算量稍微偏大点，线代代数的考查是对基本方法的考查，但是往往在做题过程中需要利用一些性质进行辅助解决。

　　线性代数的学科特点是知识点之间的综合性比较强，这也是它本身的一个难点。这就需要同学们在复习过程中，注意对于知识点间的关联性进行对比着学习，有助于巩固知识点且不易混淆。

　　总体来说，线性代数主要包括六部分的内容，行列式、矩阵、向量、线性方程组、特征值与特征向量、二次型。

　　一、行列式部分，熟练掌握行列式的计算。

　　行列式实质上是一个数或含有字母的式子，如何把这个数算出来，一般情况下很少用行列式的定义进行求解，而往往采用行列式的性质将其化成上或下三角行列式进行计算，或是采用降阶法(按行或按列展开定理)，甚至有时两种方法同时用。此外范德蒙行列式也是需要掌握的。行列式的考查方式分为低阶的数字型矩阵和高阶抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算等等。同学们只要掌握了基本方法即可。

　　二、矩阵部分，重视矩阵运算，掌握矩阵秩的应用。

　　通过考研数学历年真题分类统计与考点分布，矩阵部分的考点集中在逆矩阵、伴随矩阵、矩阵的秩及矩阵方程的考查。此外，含随矩阵的矩阵方程，矩阵与行列式的关系、逆矩阵的求法也是考生需要掌握的知识点。涉及秩的`应用，包含秩与矩阵可逆的关系，矩阵及其伴随矩阵秩之间的关系，矩阵的秩与向量组的秩之间的关系，矩阵等价与向量组等价的区别与联系，系数矩阵的秩与方程组的解之间关系的分析。

　　三、向量部分，理解相关无关概念，灵活进行判定。

　　向量组的线性相关问题是向量部分的重中之重，也是考研线性代数每年必出的考点。要求考生掌握线性相关、线性表出、线性无关的定义。以及如何判断向量组线性相关及线性无关的方法。 向量组的秩和极大无关组以及向量组等价这些重要的知识点要求同学们一定一定掌握到位。

　　这是线性代数前三个内容的命题特点，而行列式的矩阵是整个线性代数的基础，对于行列式的计算及矩阵的运算与一些重要的性质与结论请考生朋友们一定要务必掌握，否则的话，对于后面四部分的学习会越学越难，希望同学们在复习过程中一定注意前面内容的复习，为后面的考研数学复习打好基础。

　　前面我们已经分析过，考研数学线性代数这门学科整体的特点是知识点之间的综合性比较强，有些概念较为抽象，这也是大部分考生认为考研数学线性代数不好学，根本找不到复习的头绪，做题时也是一头雾水，不知道怎么分析考虑。

　　这里，老师要求大家在学习过程中一定要注意知识间之间的关联性，理解概率的实质。如：矩阵的秩与向量组的秩之间的关联，矩阵等价与向量组等价的区别，矩阵等价、相似、合同三者之间的区别与联系、矩阵相似对角化与实对称矩阵正交变换对角化二者之间的区别与联系等等。若是同学们对于上面的问题根本分不清楚，则说明大家对于基本概念、基本方法还没有完全理解透彻。不过，大家也不要太焦急，希望同学们在后期的复习过程中对于基本概念、基本方法要多加理解和体会，学习一定要有心得。

　　下面我们分析一下后面三部分的内容，线性方程组、特征值与特征向量、二次型的命题特点。

　　线性方程组，会求两类方程组的解。线性方程组是线性代数这么学科的核心和枢纽，很多问题的解决都离不开解方程组。因而线性方程组解的问题是每年必考的知识点。对于齐次线性方程组，我们需要掌握基础解系的概念，以及如何求一个方程组的基础解系。清楚明了基础解系所含线性无关解向量的个数和系数矩阵的秩之间的关系。会判断非齐次线性方程组的解的情况，掌握其求解的方法。此外，考生还需要掌握非齐次线性方程组与其对应的齐次线性方程组的解结构之间的关系。

　　特征值与特征向量，掌握矩阵对角化的方法。这一部分是理论性较强的，理解特征值与特征向量的定义及性质，矩阵相似的定义，矩阵对角化的定义。同学们还需掌握求矩阵特征值与特征向量的基本方法。会判断一个矩阵是否可以对角化，若可以的话，需要把相应的可逆矩阵P求出来。还需要注意矩阵及其关联矩阵(转置、逆、伴随、相似)的特征值与特征向量的关系。反问题也是喜欢考查的一类题型，已知矩阵的特征值与特征向量，反求矩阵A。

　　二次型，理解二次型标准化的过程，掌握实对称矩阵的对角化。二次型几乎是每年必考的一道大题，一般考查的是采用正交变换法将二次型标准化。掌握二次型的标准形与规范型之间的区别与联系。会判断二次型是否正定的一般方法。讨论矩阵等价、相似、合同的关系。

　　虽然线性代数在考研数学考试试卷中仅有5题，占有34分的分值，但是这34分也不是很轻松就能拿下的。同学们在复习过程中需要对于基础知识点理解透彻，做考研数学题过程中多分析总结。

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