高考数学解题方法之数学思想指引
如今的高考，考的并不是谁的逻辑思维强，也不是谁的基础知识强；而是在考谁能最快、最准做出题来，得更多的分，可见掌握应试教育的技巧是多么的重要。下面是小编为大家带来的高考数学题解法之数学思想指引，欢迎阅读。
在数学的知识和技能中，蕴涵着具有普遍性的数学思想，它是数学的精髓和灵魂，是知识转化为能力的桥梁，是人们对数学事实与理论，经过高度提炼概括后产生的本质认识，是数学知识和方法产生的根本源泉，是解决数学问题的指路明灯. 对数学思想的应用，是数学学习走向更深层次的一个标志. 高考试题中也蕴涵了丰富的数学思想，只有挖掘其中的思想，才能深入认识试题，透彻分析试题，顺利解答试题.本文就以2014年浙江数学高考文科卷第16题为例，浅谈在数学思想指引下的解法探究.
试题呈现：已知实数a，b，c满足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，则a的最大值是_______. （2014年浙江省数学高考文科试卷第16题）
点评：此题虽小，却是亮点.看似平常，却是丰富多彩.入口宽，方法多，蕴涵着丰富的数学思想.
探究视角1 构造思想方法的应用
构造法是一种极其重要的数学思想方法，其本质特征是构造，通过观察、分析已知条件和需要解决的问题，联系已有的知识，构造出适当的数学式子或数学模型，来解决问题.
1. 构造重要不等式
x，y∈R，x2+y2≥2xy，当且仅当x=y时取等.
推论：x，y∈R，x2+y2≥，当且仅当x=y时取等.
解法1：因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2，
因为（b+c）2≤2（b2+c2），所以a2≤2-2a2，所以3a2≤2，
所以-≤a≤，所以a的最大值是，当且仅当b=c时取等.
解法2：因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以a2=1-（b2+c2）≤1-=1-，所以a2≤2-2a2，所以3a2≤2，所以-≤a≤，当且仅当b=c时取等.
解法3：因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2，
所以bc==a2-. 因为b，c∈R，b2+c2≥2bc，
所以a2≤2-2a2，所以3a2≤2，所以-≤a≤，
所以a的最大值是，当且仅当b=c时取等.
2. 构造柯西不等式
二维柯西不等式：任取实数x1，x2，y1，y2，（x21+x22）（y21+y22）≥（x1y1+x2y2）2，
当且仅当xi=kyi（i=1，2）时取等.
解法4：因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2.
由柯西不等式可得（b2+c2）（12+12）≥（b+c）2，所以a2≤2-2a2，所以3a2≤2，所以-≤a≤，所以a的最大值是，当且仅当b=c时取等.
探究视角2 函数与方程思想方法的应用
函数与方程思想是数学本质的思想之一. 函数思想是指利用函数的概念与性质去分析问题、转化问题、解决问题.方程思想是指从问题的数量关系入手，用数学语言问题中的条件转化为数学模型，如方程、不等式、方程与不等式组等，然后通过解方程或不等式组使问题得到解决.
解法5：（构造方程）
因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2，所以bc==a2-，所以b，c为一元二次方程x2+ax+a2-=0的两个分布在（-1，1）上的实根.
所以Δ=a2-4a2-≥0，1+a+a2->0，1-a+a2->0，-1<-<1，
所以a2≤，所以-≤a≤，所以a的最大值是.
点评：此法是将已知条件转化为一元二次方程，常用判别式来探求根的情况，但要注意根的分布.
解法6：（消元，减少变量）
因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以c= -（a+b）.
所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac），所以ab+bc+ac=-.
消掉c得，a2+b2+ab-=0.
解法7：（增量换元，构造函数）
因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2.
所以令b=-+x，c=--x，x∈R，则-+x+--x=1-a2，x∈R.所以a2=（1-2x2），x∈R，所以a2≤，所以-≤a≤，所以a的最大值是.
解法8：（三角换元）
因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2，b=sinθ，c=cosθ，则-a=b+c=（sinθ+cosθ）=·sinθ+.
所以sinθ+= ，所以≤1.
所以a2≤，所以-≤a≤，所以a的最大值是.
点评：换元法又称辅助元素法、变量代换法，即通过引进新的变量，可以将分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者将条件与结论联系起来，或者变为熟悉的形式，从而将复杂的计算和证明简化.
探究视角3 数学结合思想
华罗庚先生说过：“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞. 数缺形时少直观，形少数时难入微.” 数形结合是一种重要的数学思想，运用时关键在于数形相互转化，即用代数方法处理几何问题，或通过构图解决代数问题，数形结合在解题中的'应用不仅能整合学生相关的数学知识，而且能培养学生的创新思维.
解法9：（坐标思想，直线与圆的位置关系）
因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2，
所以点（b，c）在以原点为圆心，为半径的圆上，同时又在直线b+c+a=0上，则由直线与圆的位置关系可得：圆心距d=≤.
所以a2≤，所以-≤a≤，所以a的最大值是.
解法10：（构造三角形，利用正余弦定理来解三角形）
因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以c= -（a+b），
所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac），所以ab+bc+ac=-
消掉c得，a2+b2+ab-=0？圯a2+b2-=-ab. 以a，b，为边构造三角形，令其所对角分别为A，B，D，则由余弦定理可得，cosD==.
（1）若ab>0，则cosD===-，则D=，在△ABD中由正弦定理可得，=，则a=sinA，A∈0，，0 （2）若ab<0，则cosD===，则D=，A+B=，在△ABD中由正弦定理可得，=，则a=sinA，A∈0，，0 由（1）（2）可得a的最大值是.
探究视角4 特殊化思想的应用
根据矛盾论的基本原理，我们在认识事物和解决问题的过程中，必须坚持具体问题具体分析. 也就是在矛盾普遍性原理的指导下，具体分析矛盾的特殊性.数学问题，特别是高考试题变化无穷、深浅莫测、精彩纷呈. 在解题中，若能充分挖掘隐藏于问题之中或与之相关的特殊值、特殊点、特殊图形、特殊位置和特殊结构，则可避免烦琐的运算、作图和推理，得到意想不到的、新颖独特的最佳解法. 这种利用特殊因素，采取特殊方法，解决特殊问题的思维方法，我们称之为特殊化思想方法. 每年的高考题中（尤其是选择题和填充题）都有几道题可直接运用特殊化思想方法获解.
解法11：特殊值法
因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，令b=c，则a=-2b，a2=1-2b2.
所以消掉b得a2=1-2，所以a2=，所以a=±，
所以a的最大值是.
数学思想方法不是操作程序，没有具体的步骤，需要感悟、理解，但是，没有数学思想方法就找不到解题方向. 在上述解法探究中，要感悟试题中所蕴涵的数学思想，在上述四个视角中体现了构造思想、函数思想、方程思想、换元思想、数形结合思想、特殊化思想. 近年的高考越来越重视对数学思想方法的考查. 随着试题难度的上升，数学思想方法的作用会越来越重要.
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