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高等数学：矩阵和空间的思想
矩阵和空间的思想是高等数学的一个考点。下面小编为大家介绍高等数学：矩阵和空间的思想，希望能帮到大家！
我在这里，把线性代数归于高等数学的范畴，因为它的理论适用于很多高等数学求解的领域，例如多项微分方程组的求解，离不开它。方程组，有什么物理/几何的意义吗?有，就是一种映射关系。下图中，左图代表了2维到2维的一一映射，注意，Ax=0只有0解代表对于满秩矩阵A，[0]只能被映射为[0]。右图代表A不满秩，就是2维映射到1维的情况，一个线段映射到一个点，也就是存在一个"解系"。
换个角度，由于线性映射常常就是线性变换，也就是映射回本身的集合映射，所以AX=B也可以看成是某种交点的性质。根据向量之间相交的情况区分，定解(直线或面交于一点，1和2中的交点)，无穷解(直线平行或面多面共线，这个线就构成解系。1种的红黄色重合线和3中的共线)，或者无解(平行或面没有公共交点，1中的平行线和4中的平行交线)。如下图所示。
符号系统还有什么作用？在线性代数和微分方程里面的算子理论就是符号系统的一种形式。如果ax=b有解，那么x=(a^-1)*b，其中|a|=0，我们可以推出对于矩阵方程组Ax=B有确定解，,那么这个解集是x=(A^-1)*b。这里-1表示逆矩阵，*表示矩阵相乘，其中|A|!=0。这样的表示是正确的科学的，要做的事情就是看看A^-1如何表示和得到。|A|不是绝对值而是行列式。A此时称为可逆矩阵----这个相当于实数运算里面要保证分母!=0。是不是很相似？
可逆有什么性质：如果对一个矩阵做线性变换，使用一个满秩的矩阵，那么做变换的结果，秩不变。要注意，把矩阵当成算子的时候，乘法的交换律不一定成立。秩的加法律和乘法律r(AB)>=r(A)+r(B),r(A+B)<=r(A)+r(B)。秩的性质类似于开根号。两个性质，(1)A*B=I，那么A和B都可逆。(2)B可逆，A^2+AB+B^2=0，那么求证A和A+B可逆。证明：A(A+B)=-B^2。|-B^2|=(-1)^n*|B|^2!=0，所以A和A+B都可逆。什么又是N阶可逆矩阵呢？A*T(A)=I的矩阵就是了。推广的说，把分块矩阵的元素可以看作普通的矩阵元素，那么线性变换的结果相似，只是4则运算的单位从"1"变成了单位矩阵"I"。我们从一元方程得到类似的一元矩阵符号运算的性质。说白了，代数意义上就是双射。
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