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数学归纳法的应用
数学归纳法的应用非常广泛,在实际的教学研究中也得到了很大的重视 接下来小编为你整理了数学归纳法的应用，一起来看看吧。
数学归纳法的原理
数学归纳法是一种研究与自然数有关的证明，它可以巧妙的证明结果含有n的结论。它避免了无穷次的步骤推导引起的逻辑问题，是一种严格的演绎推理，所以它与普通的归纳法有着很大的区别。已知最早的使用数学归纳法的证明出现于F·莫罗利科(Francesco Maurolico)的《算数》(Arithmeticorum libri duo)(1575AD)。莫罗利科利用递推关系巧妙地证明出前n个奇数的总和是n^2，由此总结出了数学归纳法。
数学归纳法最基本格式为：
(1)n= n0时，成立。
(2)假设n= k时成立，当n=k+1时命题也成立。于是根据(1)(2)可知命题对于任意n成立。举个例子，就像一排多米诺骨牌(这个例子很经典形象)，我们知道第一个被推倒了，我们也知道每一个与之相邻的下一个骨牌要倒，那么你就可以推断所有的的骨牌都将要倒。
如：证1+2+3++n=n*(n+1)/2 。按顺序1.当n=1时，显然成立。2.假设n=k时成立，当n=k+1时，S= k*(k+1)/2+(k+1) = (k+2) (k+1)/2. 于是结果成立。
数学归纳法的应用
1. 所有马都一个颜色。(即任意n匹马都只有一个颜色)
证：当只有1匹马，命题成立。假设任意k匹马都只有一个颜色，当n=k+1时，我从中任意挑取k匹马，这k匹马颜色相同;我再用剩下的那只马去换掉这群马中的任意一只，组成新的马群，依然有k匹马，颜色还是相同;根据集合交并原理，可知k+1时也成立。证毕。
原来真的所有马都一种颜色吗?怎么可能!现在，我们来分析一下究竟是哪里出的错。我们可以看到，在第二步，当k=1时，两匹马不能出现交集，不能推出k=2时成立。这个证明链在第二节断掉了，虽然后面是连着的，但却推不出正确结论了。所以这提示我们，即使前面第一步证明了n=1成立，第二步依然要保证n=k对任意所涉及的数也成立，包括1。
2.n人一人一顶帽子，有m顶白帽子，其余都是黑帽子。每次敲钟，都要求所有能判断自己为白帽子的人离开。正在这n个无聊的人苦苦思索的时候，突然来了一个人，说：“这里居然有人带白帽子!”，然后飘走了。黑帽子的人很想说“废话!”，却发现过了一会所有白帽子的人都走了(他们判断出自己的帽子颜色了)，这是怎么回事?
好吧，我们还是用数学归纳法做一做：
命题1：我们假设只有1人白帽子，他发现所有人都戴黑帽子，当飘走的那个人说完话后，他可以立刻知道自己是白的。于是第1声钟响后这1个白帽可确认。
命题2：假设只有2个人白，其中一个人发现有只有1个人白帽，如果命题1成立，即只有他是白帽，他应该钟响1下后立刻离开，可他不走。所以说明命题1不成立，一定有2个白帽——自己和他!于是第2声钟响后这2个白帽可确认。
假设命题k成立，命题n=k+1时，假设只有k+1个白帽，其中一人发现：有k个白帽，如果是命题k，他们在第k声钟响后应该全部离开，可是没走，所以一定自己是白帽子让他们不能判断。于是在第k+1声钟响后，k+1白帽可全部确认离开。结论成立。
所以，那句废话虽然对黑帽子没有，但对白帽子而言是却是归纳法的第一块多米诺骨牌。
3.在《不可思议?》这本书里还有一个更那啥的题，经改编如下：有一个杀人狂把两个人分别关在两个密室，分别告诉他们两个相邻正自然数，两个人虽然知道数字相邻，却不知道对方的数。计时开始后，每分钟他们都有一次机会选择确认按钮，确认的消息可以被双方听见。只有知道另一方数字是多少的人才能出去。快快，生路在哪里?
这看起来好像无解，假如我知道自己的数是27，怎么判断对方究竟是26还是28，难道出去的概率是50%?
不，概率是100%，唯一的生路在那个每分钟一次确认按钮上(且确认消息可通知双方)。当A的数是1，则在第1分钟便可知道B的数是2(因为不是0)。当A的数是2，则有两种情况，B是1或3，如果是1，B在第一分钟会确认，如果B没确认，则B是3。所以假设当A为k时，A会在第k分钟推理出B的数字，则当A=k+1时，如果第k分钟B没有动静，则可以判断B的数不是k，而是k+2，所以在下一分钟即k+1分钟时A推理出数字，结论成立。
论数学归纳法在高中数学中的应用
一、在数列问题中应用数学归纳法，引导学生掌握解题思路与方法
在高考中，一些与数学归纳法相关的题目往往会与数列结合起来考察，在求数列相关问题时，教师可引导学生采用数学归纳法先假设后证明，清晰地梳理出解题思路，从而求得正确答案。例如，已知数列{an}，其中a2=6,（an+1+an-1）/(an+1-an+1)=n。
（1）求a1，a3，a4。
（2）求数列的通项公式。
对于第一小问，首先，将n=1，n=2，n=3分别代入上式中，得(a2+a1-1)/(a2-a1+1)=1①；（a3+a2-1）/(a3-a2+1)=2 ②；(a4+a3-1)/（a4-a3+1）=3③；将已知条件a2=6代入①②式，可求出a1=1，a3=15，再将求出的a3的值代入③式中，得a4=28，便解决了第一小问的问题。这类题目对于学生的思维和逻辑能力要求并不高，在解题过程中，学生们都不难算出答案。对于第二小问，由于目前所知的条件为数列前四项的具体数值，且除了一个递推公式外无其他信息。此时，教师可引导学生去归纳总结已知信息的规律，通过前四项的结构特征猜想出数列通项，再用数学归纳法先假设后证明，最后得出答案。
关于这道题目，可以将数列的前四项分别写为a1=1*1，a2=2*3，a3=3*5，a4=4*7，观察其结构特征，可以发现前四项的值可以表示为一个正整数与一个奇数的乘积。即：a1=1*(2*1-1)，a2=2*(2*2-1)，a3=3*(2*3-1)，a4=4*(2*4-1)，由此可以推测an=n*(2n-1)。
下面用数学归纳法进行证明：
①当n=1时，a1=1*(2*1-1)=1，结论正确。
当n=2时，a2=2*(2*2-1)=6，结论正确。
②假设当n=m(m≥2，m属于正整数)时结论成立，即am=m*(2m-1)，那么当n=m+1时，有（am+1+am-1）/（am+1-am+1）=m，解得：
(m-1)am+1=(m+1)am-(m+1)
=(m+1)*m(2m-1)-(m+1)
=(m+1)(2m+1)(m-1)
因为m-1≠0,所以，am+1=(m+1)(2m+1)
=(m+1)[2(m+1)-1]
所以当n=m时，结论正确。
综上，{an}的通项公式是an=n*(2n-1)。
在解决与数列相关的证明问题时，直接证明往往很不容易，教师应引导学生转换思路，运用数学归纳法辅助证明，拓展学生的解题思路，提升学生的解题速度和准确率。
二、在几何问题中运用数学归纳法，提升学生的解题能力
在高中数学中，学生的一项重要能力就是解题。解题不仅能使学生深化理解和掌握知识点，还有助于增强其自信心。在几何板块中，有些难度较高的题无法用常规方法去解决，这时就需要将特殊转化为一般的方法来处理。所以，数学归纳法在几何问题中也有多方面的应用，包括几何问题的计算、证明、构图等。现举一例来说明，在一个几何平面中，有n条直线，任意的两条直线都相交，而任意的三条直线都不共点，求证：此几何平面中n条直线共有Pn=1/2*(n-1)*n个交点。
在此题中，教师应引导学生从题目中发现隐藏的信息，帮助学生顺利解题。首先由题目可知，n≥2，n属于正整数，虽然题目中没有其他的信息，但积累的数学常识也能使我们知道：如果两条直线相交，那么这两条直线相交于一点。即n=2时，P2=1。所以，首先假设n=2，将其代入Pn=1/2*(n-1)*n中，得Pn=1，所以结论成立。其次，假设n=a，那么Pa=1/2(a-1)*a，而当n=a+1时，分析题意，结合“任意的两条直线相交，而任意的三条直线都不共点”可得，当在a条直线的基础上增加一条直线时，共增加a个交点。因此，当n=a+1时，Pa+1=1/2(a-1)*a+a=a*(1/2a-1/2+1)=a*(1/2a+1/2)=a*1/2(a+1)=1/2(a+1)*a，所以当n=a时，结论成立。综上，此几何平面中n条直线共有Pn=1/2*(n-1)*n个交点。
由此可见，对于此类几何问题的解决，主要是将特殊问题转化为一般问题，首先需要进行假设，得出一般性的结论，然后将其作为假设条件运用到解题中。当特殊性完成验证后，对假设命题n=k进行证明，最后取n=k+1，证明假设依然成立。在此过程中，教师应引导学生对解题思路和解题步骤进行归纳总结，力求做到举一反三，融会贯通。
三、合理利用数学归纳法解题，培养学生推理能力与逻辑思维
在运用数学归纳法进行解题时，学生需要树立“归纳、猜想、证明”的解题思想，这就需要教师在教学过程中注意培养学生的这种能力。在平常的教学过程中，教师应该向学生讲述数学归纳法的由来，什么是数学归纳法，数学归纳法的重要性等，培养学生对学习数学归纳法的兴趣。教师还应关注学生对该类型题目的归纳整理，使学生能合理运用数学归纳法解决特定问题。在解题过程中，注意对学生“目标意识”的培养，使其不盲目使用数学归纳法，而是基于方法，巧妙转化问题，将困难重重的题目通过“归纳、猜想、证明”的解题思想解决问题。这不仅能提高学生逻辑思维与推理能力，也能使学生在成功解题后产生对数学的学习兴趣，使其不断进步。
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