大学数学教案范本
（说明：本教学教案以高等教育出版社普通高等教育“十一五”国家级规划教材第二版《大学文科数学》（张国楚等主编）教学内容为蓝本制作，按照教学顺序，展现教学中的难点、重点）
第一章 微积分的基础和研究对象
内容：§1 微积分基础---集合、实数和极限
1.1从牛顿的流数法和第二次数学危机谈起
1.2极限、实数、集合在微积分中的作用
1.3实数系的建立及邻域概念
计划：2学时
主要讲述微积分发展演变的历史。
微积分的基础是---集合、实数和极限，微积分的发展历史可追溯到17世纪，在物理力学等实际问题中出现大量的（与面积、体积、极值有关的）问题，用微积分得到了很好的解决。到19世纪，经过无数数学家的努力，微积分的理论基础才得以奠定。可以说，经过300多年的发展，微积分课程的基本内容已经定型，并且已经有了为数众多的优秀教材。但是，人们仍然感到微积分的教与学都不是一件容易的事，这与微积分学科本身的历史进程有关。微积分这座大厦是从上往下施工建造起来的。微积分从诞生之初就显示了强大的威力，解决了许多过去认为高不可攀的困难问题，取得了辉煌的胜利，创始微积分数学的大师们着眼于发展强有力的方法，解决各式各样的问题，他们没来得及为这门学科建立起严格的理论基础。在以后的发展中，数学危机的出现，促使后继者才对逻辑细节作了逐一的修补。重建基础的细致工作当然是非常重要的，但也给后世的学习者带来了不利的影响，今日的初学者在很长一段时间内只见树木不见森林。
在这一节重点了解十九世纪建立分析学基础的历史；了解第二次数学危机的意义；了解实数理论、集合论诞生的背景与内容；了解十九世纪分析学的新进展。重点提出几位数学家：牛顿（创立了微积分学）；柯西、维尔斯特拉斯（为微积分学奠定了理论基础）；康托（建立集合论）。
内容：§2 微积分的研究对象---函数
2.1 变量相依关系的数学模型---函数
2.2 逆向思维一例---反函数
2.3 基本初等函数
2.4 复合函数
2.5 初等函数的含义
2.6 MM能力培养
计划：2学时
在自然科学，工程技术甚至社会科学中，函数是被广泛应用的数学概念之一，其意义远远超过了数学范围，在数学中函数处于基础核心地位。函数不仅是贯穿中学《代数》的一条主线，它也是《大学数学》这门课程的研究对象。
《大学数学》课程中，将在原有初等数学的基础上，对函数的概念、性质进行重点复习和深入的讨论，并采用极限为工具研究函数的各种分析性质，进而应用函数的性质去解决实际问题。
本节重点掌握以下内容：
函数的表示方法，函数的图形与特殊的几何性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；
函数的运算：和差积商四则运算、求逆运算（反函数）、求复合运算（复合函数）；
初等函数与非初等函数的概念。
下面谈谈对初等函数的认识。
基本初等函数是在数学史的发展过程中，用到最多的.6类函数，其性质在中学已经考察的比较清楚了，它们是：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
基本初等函数以及对基本初等函数作有限次四则运算与有限次函数复合运算得到的由一个式子表示的函数成为初等函数。在本教材中，我们大多数情况下都考虑初等函数。
但也要清楚一些非初等函数的例子，如一些常见的分段函数：符号函数、取整函数、小数函数
第二章 微积分的直接基础---极限
内容：§1 从阿基里斯追赶乌龟谈起---数列极限
1.1数列的概念
1.2数列极限的定性描述
1.3 数列极限的定量描述
1.4 数列极限中蕴含的辨证思想
计划：4学时
为了深入研究函数, 需要引进极限的概念. 极限是高等数学最基本的概念, 在微分学与积分学中, 极限的方法是解决问题的主要方法. 从方法论上来说, 这是高等数学区别于初等数学的显著标志.
极限的定性描述是用所谓的描述性语言，例如，“无限趋近”“越来越靠近”这些都只是一种模糊的描述，一种直观的想象，缺乏精确性；尽管直观在数学的发展和创造中扮演着充满活力的积极角色，但数学不能停留在直观的认识阶段。为避免直观想象可能带来的错误判断，作为微积分工具的极限概念，必须有定量描述的精确定义。
本节的重点是对数列极限的定量描述的理解。
数列极限的定量描述：
N，nNxna. 定义：（N语言）limxna0，n
注意：
1）关于 是衡量xn与a接近程度的，愈小，表示的接近愈好，它除受限于
正数外，不受任何限制，正说明xn与a能够接近到任何程度. 有任意性，但一
经给出，就应暂时看作是固定不变的，以便据此来求N. 也就是说，具有二重性，的绝对任意性是通过无限多个相对固定性的表现出来的.
2， 同再者，既然是任意给定的正数，那么c（c是正常数），，
样都是任意给定的正数，因此定义中不等式右边的完全可以由c（c是正常
2，来代替，同样可知，不等式中的“<”可换为“”. 今后证数），，
在数列极限的定义中，正数是任意的，虽然也可以任意大，但此时不等式xna并不能说明xn无限趋近于a. 等式才表明xn无限趋近于a. 因此证明极限问题时，常常限定的变化范围，如，
01,0
1[]>1. 12，例如，为了使[]是自然数，限定01,从而有1
2）关于N N随的变化而变化，是依赖于的，但不是由所惟一确定的. 因为对已经给定的，若N=100能满足要求，则N=101或1000或10000自然更能满足要求. 其实N等于多少关系不大，重要的是它的存在性，只要存在一个N，那么大于N的任何一个自然数都能满足要求. 因此，用“N”定义证明数列
xna”是指：凡是下标大于N的所有xn，都满足不等3）定义中“nN式xna. 从几何意义上讲，就是所有坐标大于N的xn都落在a的邻域内，而在这邻域之外，至多有N（有限）个项. xn何邻域内含有{xn} 实际在定义中,不等式xna, 就是axna, 它表示xn在开区间(a,a)内. 因此, {xn}以a为极限, 就是对任意给定的一个开区间
(a,a), 第NxN2，全部落在这个区间内. 项以后的一切项xN1，
4）特别：当a=0时，即limxn0，则称数列{xn}为无穷小量不是很n
小的量，而是以零为极限的变量. 由极限的定义可知 limxn00，N，nNxn0xn. n
又知，若limxna，则lim（xna）0，即数列{xna}为无穷小量. 反之，nn
若{xna}为无穷小量，则limxna. n
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