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高中数学七大基本知识点
第一:函数与导数
1) 三阶段:1)学习函数概念、图象、性质。以指对函数为例,重点学习函数与反函数及单调性
2)以三角函数为例,重点学习奇偶性与周期性
3)学习函数极限、连续性、导数。最终落在导数应用
注:(文科)解析式选用多项式函数。(理科)指、对、三角函数为载体
选择、填空多考查图象、反函数、奇偶性、极限、连续性、导数的几何意义
第二:数列:在高考中占重要地位
1)重点研究等差数列、等比数列,主要是通项公式及前n项和公式
2)通过比较抽象数列入手,进行严格的逻辑推证
3)通项与前n项和的重要关系
注:选择、填空多突出函数与方程思想、数形结合、特殊与一般、有限与无限的考查。
第三:不等式:
1)学习不等式性质、简单不等式解法、不等式证明、不等式应用
2)删去无理不等式、保留二次不等式、分式不等式、含绝对值简单不等式、简单指对不等式,均值定理只考虑两个正数。
注:选择、填空多考查解不等式的同解变形、数形结合、特殊化思想、均值定理,解答题多考查解不等式、不等式证明、含参数不等式、与函数导数数列相结合(知识网络交汇)
第四:三角函数:同角公式由8个删为3个,删去余切诱导公式,删去半角公式、积化和差公式,删去反三角函数与简单三角方程绝大部分内容,只保留反正弦、反余弦、反正切意义与符号表示。
新增内容:平面向量、极限与导数作了替代
突出考查三角函数图象与性质
数轴标根法、穿针引线法
“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”
准确的说,应该叫做“序轴标根法”。序轴:省去原点和单位,只表示数的大小的数轴。序轴上标出的两点中,左边的点表示的数比右边的点表示的数小。
是高次不等式的简单解法
当高次不等式f(x)>0(或<0)的左边整式、分式不等式φ(x)>0(或<0)的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积(x-a1)(x-a2)…(x-an)的形式,可把各因式的根标在数轴上,形成若干个区间,最右端的区间f(x)、 φ(x)/h(x)的值必为正值,从右往左通常为正值、负值依次相间,这种解不等式的方法称为序轴标根法。
为了形象地体现正负值的变化规律,可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点,穿过最后一个点后就不再变方向,这种画法俗称“穿针引线法”,如图1(图片自上而下依次为图一,二,三,四)
做题步骤:
第一步:通过不等式的诸多性质对不等式进行移项,使得右侧为0。(注意:一定要保证x前的系数为正数)
例如:将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0
第二步:将不等号换成等号解出所有根。
例如:(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为:x1=2,x2=1,x3=-1
第三步:在数轴上从左到右依次标出各根。
例如:-1 1 2
第四步:画穿根线:以数轴为标准,从“最右根”的右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右根”上去,一上一下依次穿过各根。
第五步:观察不等号,如果不等号为“>”,则取数轴上方,穿根线以内的范围;如果不等号为“<”则取数轴下方,穿根线以内的范围。x的次数若为偶数则不穿过,即奇过偶不过。
例如:
若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
在数轴上标根得:-1 1 2
画穿根线:由右上方开始穿根。
因为不等号为“>”则取数轴上方,穿跟线以内的范围。即:-12。
奇过偶不过就是当不等式中含有有单独的x偶幂项时,如(x^2)或(x^4)时,穿根线是不穿过0点的。但是对于X奇数幂项,就要穿过0点了。还有一种情况就是例如:(X-1)^2.当不等式里出现这种部分时,线是不穿过1点的。但是对于如(X-1)^3的式子,穿根线要过1点。也是奇过偶不过。可以简单记为“奇穿过,偶弹回”。(如图三,为(X-1)^2)
注意事项
运用序轴标根法解不等式时,常犯以下的错误:
1. 出现形如(a-x)的一次因式时,匆忙地“穿针引线”。
例1 解不等式x(3-x)(x+1)(x-2)>0。
解 x(3-x)(x+1)(x-2)>0,将各根-1、0、2、3依次标在数轴上,由图1可得原不等式的解集为{xx<-1或03}。
事实上,只有将因式(a-x)变为(x-a)的形式后才能用序轴标根法,正确的解法是:
解 原不等式变形为x(x-3)(x+1)(x-2)<0,将各根-1、0、2、3依次标在数轴上,由图1,原不等式的解集为{x-1
2. 出现重根时,机械地“穿针引线”
例2 解不等式(x+1)(x-1)^2(x-4)^3<0
解 将三个根-1、1、4标在数轴上,由图2得,
原不等式的解集为{xx<-1或1
这种解法也是错误的,错在不加分析地、机械地“穿针引线”。出现几个相同的根时,所画的浪线遇到“偶次”点(即偶数个相同根所对应的点)不能过数轴,仍在数轴的同侧折回,只有遇到“奇次”点(即奇数个相同根所对应的点)才能穿过数轴,正确的解法如下:
解 将三个根-1、1、4标在数轴上,如图3画出浪线图来穿过各根对应点,遇到x=1的点时浪线不穿过数轴,仍在数轴的同侧折回;遇到x=4的点才穿过数轴,于是,可得到不等式的解集
{x-1
3. 出现不能再分解的二次因式时,简单地放弃“穿针引线”
例3 解不等式x(x+1)(x-2)(x^3-1)>0
解 原不等式变形为x(x+1)(x-2)(x-1)(x^2+x+1)>0,有些同学同解变形到这里时认为不能用序轴标根法了,因为序轴标根法指明要分解成一次因式的积,事实上,根据这个二次因式的符号将其消去再运用序轴标根法即可。
解 原不等式等价于
x(x+1)(x-2)(x-1)(x^2+x+1)>0,
∵ x^2+x+1>0对一切x恒成立,
∴ x(x-1)(x+1)(x-2)>0,由图4可得原不等式的解集为{xx<-1或02}
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