初一期末奥数自测题
1.已知3x2-x=1，求6x3+7x2-5x+2000的值.
2.某商店出售的一种商品，每天卖出100件，每件可获利4元，现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润，根据经验，这种商品每涨价1元，每天就少卖出10件.试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润?最大利润是多少元?
3.如图1-96所示.已知CBAB，CE平分BCD，DE平分CDA，2=90.求证：
DAAB.
4.已知方程组
的解应为
一个学生解题时把c抄错了，因此得到的解为
求a2+b2+c2的值.
5.求方程|xy|-|2x|+|y|=4的整数解.
6.王平买了年利率7.11%的三年期和年利率为7.86%的五年期国库券共35000元，若三年期国库券到期后，把本息再连续存两个一年期的定期储蓄，五年后与五年期国库券的本息总和为47761元，问王平买三年期与五年期国库券各多少?(已知一年期定期储蓄年利率为5.22%)
7.对k，m的哪些值，方程组
至少有一组解?
8.求不定方程3x+4y+13z=57的整数解.
9.小王用5元钱买40个水果招待五位朋友.水果有苹果、梨子和杏子三种，每个的价格分别为20分、8分、3分.小王希望他和五位朋友都能分到苹果，并且各人得到的`苹果数目互不相同，试问他能否实现自己的愿望?
答案解析：
1.原式=2x(3x2-x)+3(3x2-x)-2x+2000
=2x1+31-2x+2000
=2003.
2.原来每天可获利4100元，若每件提价x元，则每件商品获利(4+x)元，但每天卖出为(100-10x)件.如果设每天获利为y元，则
y =(4+x)(100-10x)
=400+100x-40x-10x2
=-10(x2-6x+9)+90+400
=-10(x-3)2+490.
所以当x=3时，y最大=490元，即每件提价3元，每天获利最大，为490元.
3.因为CE平分BCD，DE平分ADC及2=90(图1-104)，所以
ADC+BCD=180，
所以 AD∥BC.
又因为 ABBC，
由①，②
ABAD.
4.依题意有
所以 a2+b2+c2=34.
5.|x||y|-2|x|+|y|=4，即
|x|(|y|-2)+(|y|-2)=2，
所以
(|x|+1)(|y|-2)=2.
因为|x|+10，且x，y都是整数，所以
所以有
6.设王平买三年期和五年期国库券分别为x元和y元，则
因为 y=35000-x，
所以
x(1+0.07113)(1+0.0522)2
+(35000-x)(1+0.07865)=47761，
所以
1.3433x+48755-1.393x=47761，
所以 0.0497x=994，
所以 x=20000(元)，
y=35000-20000=15000(元). 来
7.因为
(k-1)x=m-4， ①
m为一切实数时，方程组有唯一解.当k=1，m=4时，①的解为一切实数，所以方程组有无穷多组解.
当k=1，m4时，①无解.
所以，k1，m为任何实数，或k=1，m=4时，方程组至少有一组解.
8.由题设方程得
z=3m-y.
x=19-y-4(3m-y)-m
=19+3y-13m.
原方程的通解为
其中n，m取任意整数值.
9.设苹果、梨子、杏子分别买了x，y，z个，则
消去y，得12x-5z=180.它的解是
x=90-5t，z=180-12t.
代入原方程，得y=-230+17t.故
x=90-5t，y=-230+17t，z=180-12t.
x=20，y=8，z=12.
因此，小王的愿望不能实现，因为按他的要求，苹果至少要有1+2+3+4+5+6=2120个.
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